После преобразования растрового 512-цветного графического файла в чёрно-белый формат (без градаций серого) размер файла уменьшился на 120 байт. Найдите размер исходного файла.…

Для решения задачи начнем с анализа информации о преобразовании графического файла из 512-цветного в черно-белый формат.

Шаг 1: Понять, как меняется размер файла

1. Исходный файл имеет 512 цветов. Для представления цвета в цифровом формате обычно используется 8 бит (или 1 байт), поскольку 2^8 = 256, что позволяет закодировать 256 различных значений. Однако для 512 цветов нам необходимо больше битов:

   • 512 = 2^9, следовательно, нам нужно 9 бит для представления каждого цвета.

2. Черно-белый формат использует только 1 бит на пиксел, так как он может принимать только два значения: черный или белый.

Шаг 2: Формулы для вычисления размера файла

Предположим, что размер изображения в пикселях — это \( W \times H \), где \( W \) — ширина в пикселях, а \( H \) — высота в пикселях.

• Размер исходного файла (в байтах): \[ \text{Размер исходного файла} = W \times H \times \frac{9}{8} \text{ байт} \]

• Размер черно-белого файла: \[ \text{Размер черно-белого файла} = W \times H \times \frac{1}{8} \text{ байт} \]

Шаг 3: Разница в размерах

Согласно условию, уменьшение размера файла составило 120 байт. Это можно записать как: \[ \text{Размер исходного файла} - \text{Размер черно-белого файла} = 120 \text{ байт} \]

Шаг 4: Подставим формулы в уравнение

Подставим выражения для размеров файлов в уравнение: \[ (W \times H \times \frac{9}{8}) - (W \times H \times \frac{1}{8}) = 120 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

1. Объединим дроби: \[ W \times H \times \left(\frac{9}{8} - \frac{1}{8}\right) = 120 \] \[ W \times H \times \frac{8}{8} = 120 \] \[ W \times H = 120 \]

Шаг 6: Найдем размер исходного файла

Теперь подставим найденное значение \( W \times H \) в формулу для исходного файла: \[ \text{Размер исходного файла} = 120 \times \frac{9}{8} = 120 \times 1.125 = 135 \text{ байт} \]

Таким образом, размер исходного файла составляет 135 байт.