Школьной игре «Весёлые старты» приняли участие  10 команд. Сколько есть вариантов распределения первых трёх мест среди команд?

Для решения задачи о количестве вариантов распределения первых трех мест среди 10 команд, мы можем воспользоваться комбинациями и перестановками. Поскольку речь идет о первых трех местах, порядок команд важен. То есть, разные команды на разных местах — это различные результаты. Это означает, что нам нужно рассматривать варианты размещения элементов с учётом порядка. Мы можем поступить следующим образом: 1. **Выбор команды для 1-го места:** У нас есть 10 команд, поэтому на 1-е место мы можем назначить любую из 10 команд. 2. **Выбор команды для 2-го места:** После того, как команда заняла 1-е место, для 2-го места остаётся 9 команд. Мы можем выбрать любую из оставшихся 9 команд. 3. **Выбор команды для 3-го места:** После назначения команд на 1-е и 2-е места остаётся 8 команд. Для 3-го места мы можем выбрать любую из оставшихся 8 команд. Теперь мы можем рассчитать общее количество вариантов следующим образом: \[ \text{Количество вариантов} = 10 \times 9 \times 8 \] Выполним расчёты: \[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] Таким образом, общее количество вариантов распределения первых трех мест среди 10 команд равно 720. В итоге, ответ: **720** вариантов.