Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифры с повторением и без повторения 0 , 7 , 8 , 9 ?

Чтобы решить задачу о количестве четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифры с повторением и без повторения, давайте прежде определимся с условиями.

1. Четырёхзначные числа

Четырёхзначные числа начинаются с цифры от 1 до 9 (то есть не могут начинаться с 0). Доступные цифры для нашего случая: 0, 7, 8, 9.

2. Подход с учетом повторений

Шаг 1: Числа с повторениями

Для нахождения количества четырёхзначных чисел с повторением цифр:

• Первая цифра (тысячи) может быть: 7, 8, 9 (то есть 3 варианта, поскольку 0 не может стоять на первом месте).
• Каждая из следующих трех цифр может быть одной из 4 представленных цифр (0, 7, 8, 9).

Формула для подсчета:

\[ \text{Количество} = (\text{количество вариантов для первой цифры}) \times (\text{количество вариантов для остальных цифр})^{3} \]

Подставим значения:

\[ \text{Количество} = 3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192 \]

3. Подход без повторений

Шаг 2: Числа без повторений

Теперь посчитаем количество четырёхзначных чисел без повторений:

• Первая цифра может быть только 7, 8 или 9 (т.е. 3 варианта).
• После выбора первой цифры остается 3 цифры (из 4), из которых мы можем выбрать вторую.
• Затем, оставшиеся 2 цифры можно использовать для третьего и четвёртого мест.

Формула для подсчета:

\[ \text{Количество} = (\text{количество вариантов для первой цифры}) \times (\text{количество вариантов для второй цифры}) \times (\text{количество вариантов для третьей цифры}) \times (\text{количество вариантов для четвёртой цифры}) \]

Подставим:

1. Выбор первой цифры (3 варианта: 7, 8, 9)
2. Выбор второй цифры (остается 3 варианта, включая 0)
3. Выбор третьей цифры (остается 2 варианта)
4. Выбор четвёртой цифры (остается 1 вариант)

\[ \text{Количество} = 3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18 \]

4. Ответ

Итак, количество четырёхзначных чисел:

• С повторениями: 192
• Без повторений: 18

Это подробное объяснение даст вам понимание, как решаются подобные задачи. Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать!