Для решения данной задачи мы будем использовать неравенство Чебышева, которое помогает оценивать вероятность попадания случайной величины в определенный интервал.
Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть 1000 клиентов, и мы хотим оценить вероятность того, что от 60 до 80 клиентов заинтересуются акцией, если вероятность того, что акция будет востребована, составляет 0.07.
Шаг 2: Определим параметры
Количество клиентов (n): 1000
Вероятность успеха (p): 0.07
Ожидаемое количество успехов (μ):
[
\mu = n \cdot p = 1000 \cdot 0.07 = 70
]
Дисперсия (σ²):
[
\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 1000 \cdot 0.07 \cdot (1 - 0.07) = 1000 \cdot 0.07 \cdot 0.93 \approx 65.1
]
Следовательно, стандартное отклонение (σ):
[
\sigma = \sqrt{65.1} \approx 8.06
]
Шаг 3: Применение неравенства Чебышева
Неравенство Чебышева утверждает, что для любой случайной величины (X) с математическим ожиданием (μ) и дисперсией (σ^2):
[
P(|X - μ| \geq kσ) \leq \frac{1}{k^2}
]
где (k) — количество стандартных отклонений от среднего.
Шаг 4: Определим пределы
Мы ищем вероятность того, что количество успешных клиентов (X) будет находиться между 60 и 80:
- Нижний предел (a = 60)
- Верхний предел (b = 80)
Итак, нам нужно найти:
[
|X - 70| < 10 \quad (\text{где } 10 \text{ — расстояние от } 70 \text{ до } 60 \text{ и } 80)
]
Это можно переписать как:
[
k = \frac{10}{σ} \approx \frac{10}{8.06} \approx 1.24
]
Шаг 5: Применение неравенства
Теперь подставляем (k) в формулу:
[
P(|X - 70| < 10) \geq 1 - P(|X - 70| \geq 10) \geq 1 - \frac{1}{(1.24)^2} \approx 1 - \frac{1}{1.5376} \approx 0.35
]
Шаг 6: Итог
Согласно неравенству Чебышева, вероятность того, что среди 1000 клиентов от 60 до 80 человек заинтересуются акцией, составляет не менее 35%.
Таким образом, ответ: Вероятность того, что среди 1000 клиентов от 60 до 80 будут заинтересованы в акции, составляет не менее 35%.
