В треугольнике АВС, АВ 12, АС 16, ВС 10 вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке М. Найдите АМ.

Для решения задачи, давайте начнем с того, что мы имеем треугольник \( ABC \) со сторонами:

• \( AB = 12 \)
• \( AC = 16 \)
• \( BC = 10 \)

При этом в этом треугольнике вписана окружность, и хочется найти длину отрезка \( AM \), где \( M \) — точка касания окружности со стороной \( AC \).

Шаг 1: Поиск полупериметра треугольника

Полупериметр \( p \) треугольника \( ABC \) можно найти по формуле: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} \] Подставляем известные значения: \[ p = \frac{12 + 16 + 10}{2} = \frac{38}{2} = 19 \]

Шаг 2: Определение длины отрезка \( AM \)

Длина отрезка \( AM \) может быть найдена с помощью формулы для отрезков, на которые делит сторону окружность, вписанная в треугольник. Эти отрезки можно выразить следующим образом:

• \( AM = p - AB \)
• \( BM = p - AC \)
• \( CM = p - BC \)

В нашем случае: \[ AM = p - AB = 19 - 12 = 7 \]

Таким образом, получаем, что длина отрезка \( AM \) равна 7.

Шаг 3: Проверка

Для уверенности, давайте также проверим, чему равны оставшиеся отрезки:

• \( BM = p - AC = 19 - 16 = 3 \)
• \( CM = p - BC = 19 - 10 = 9 \)

Вывод

Все результаты согласуются с тем, что точка \( M \) делит сторону \( AC \) на отрезки \( AM \) и \( CM \) таким образом, что:

• \( AM = 7 \)
• \( CM = 9 \)

Так что, окончательно, мы находим: \[ \boxed{7} \]

Это и есть длина отрезка \( AM \).