Чтобы решить неравенство ( x^2 - 14x + 48 \leq 0 ), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем корни уравнения
Сначала решим уравнение ( x^2 - 14x + 48 = 0 ). Это квадратное уравнение, его можно решить с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = -14 ), ( c = 48 ).
Подставляем значения:
[
x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}
]
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4
]
Теперь подставим дискриминант:
[
x = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2}
]
Получаем два корня:
[
x_1 = \frac{16}{2} = 8
]
[
x_2 = \frac{12}{2} = 6
]
Шаг 2: Определим интервал решения неравенства
Теперь у нас есть корни ( x_1 = 6 ) и ( x_2 = 8 ). Для квадратного трёхчлена, который открывается вверх (коэффициент при ( x^2 ) положителен), выражение ( x^2 - 14x + 48 ) будет меньше или равно нулю на отрезке между корнями:
[
6 \leq x \leq 8
]
Шаг 3: Найдем целые решения
Теперь найдем целые числа, которые удовлетворяют этому интервалу:
Шаг 4: Найдем сумму целых решений
Суммируем найденные целые числа:
[
6 + 7 + 8 = 21
]
Ответ
Таким образом, сумма целых решений неравенства ( x^2 - 14x + 48 \leq 0 ) равна ( 21 ).
Ответ: 21.
