В ящике стола у Кирилла лежат 11 гелевых ручек и 11 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка…
В ящике стола у Кирилла лежат 11 гелевых ручек и 11 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту? (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Для решения задачи о вероятности того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, когда Кирилл тянет ручки из ящика, мы можем использовать свойства вероятностей и комбинаторики.
Дано:
- В ящике 11 гелевых ручек.
- В ящике 11 шариковых ручек.
- Всего ручек: \( 11 + 11 = 22 \).
Цель:
Найти вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей.
Шаг 1: Определение условий
Чтобы третья по счёту ручка оказалась гелевой, первые две ручки, которые Кирилл вытянет, должны быть шариковыми, а третья — гелевой.
Шаг 2: Подсчёт количества благоприятных исходов
- Первая ручка — шариковая. Вероятность этого события: \[ P(1) = \frac{11}{22} = \frac{1}{2} \]
- Вторая ручка — тоже шариковая. После того, как одна шариковая ручка была вытянута, в ящике осталось 10 шариковых ручек и 11 гелевых. Общее количество ручек теперь 21. Вероятность этого события: \[ P(2) = \frac{10}{21} \]
- Третья ручка — гелевая. После вытягивания двух шариковых ручек в ящике осталось 11 гелевых и 10 шариковых. Общее количество ручек теперь 20. Вероятность: \[ P(3) = \frac{11}{20} \]
Шаг 3: Подсчёт общей вероятности
Теперь мы можем подсчитать общую вероятность того, что первые две будут шариковыми, а третья — гелевой:
\[ P(\text{гелевая третья}) = P(1) \times P(2) \times P(3) = \frac{1}{2} \times \frac{10}{21} \times \frac{11}{20} \]
Шаг 4: Упрощение
Давайте упростим данное произведение:
Умножим дроби: \[ P(\text{гелевая третья}) = \frac{1 \times 10 \times 11}{2 \times 21 \times 20} = \frac{110}{840} \]
Теперь упростим дробь: Находим наибольший общий делитель (НОД) для 110 и 840. НОД = 10: \[ \frac{110}{840} = \frac{11}{84} \]
Шаг 5: Преобразование в десятичную дробь
Вычисляем десятичное значение дроби: \[ \frac{11}{84} \approx 0.13095 \] Округляем до сотых: \[ P \approx 0.13 \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет \( \approx 0.13 \) или 13%.
