В ящике стола у Кирилла лежат 11 гелевых ручек и 11 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка…
В ящике стола у Кирилла лежат 11 гелевых ручек и 11 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту? (Ответ округли до сотых. Промежуточные вычисления выполняй в обыкновенных дробях.)
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Условие задачи: У Кирилла в ящике лежат 11 гелевых и 11 шариковых ручек. Он достает ручки наугад до тех пор, пока не вытянет гелевую. Нас интересует вероятность того, что первая гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту.
Обозначим ручки:
- Гелевые ручки - обозначим как "Г"
- Шариковые ручки - обозначим как "Ш"
Общая информация: Всего ручек у Кирилла: \[ 11 \text{ (гелевых)} + 11 \text{ (шариковых)} = 22 \text{ ручки} \]
События: Чтобы гелевая ручка оказалась третьей, должно произойти следующее:
- Первые две вытянутые ручки должны быть шариковыми.
- Третья вытянутая ручка должна быть гелевой.
Шаг 1: Вероятность вытянуть две шариковые ручки подряд.
Вероятность, что первая ручка будет шариковой: \[ P(\text{Ш}) = \frac{11}{22} = \frac{1}{2} \]
Вероятность, что вторая ручка также будет шариковой (после того, как уже достали одну шариковую): \[ P(\text{Ш | первая Ш}) = \frac{10}{21} \]
Теперь можем найти полную вероятность того, что первые две ручки будут шариковыми: \[ P(\text{первые две Ш}) = P(\text{Ш}) \cdot P(\text{Ш | первая Ш}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{21} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21} \]
Шаг 2: Вероятность того, что третья ручка будет гелевой. На данный момент у нас осталось 20 ручек: 11 из них гелевые, и это будет вероятность достать гелевую ручку: \[ P(\text{Г}) = \frac{11}{20} \]
Шаг 3: Найдем полную вероятность. Согласно правилу умножения вероятностей: \[ P(\text{две Ш и затем Г}) = P(\text{первые две Ш}) \cdot P(\text{Г}) \] \[ P(\text{две Ш и затем Г}) = \frac{5}{21} \cdot \frac{11}{20} = \frac{55}{420} \]
Шаг 4: Упростим дробь. Упрощаем дробь \(\frac{55}{420}\):
- Найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 55 и 420, который равен 5.
- Делим числитель и знаменатель на 5: \[ \frac{55 \div 5}{420 \div 5} = \frac{11}{84} \]
Шаг 5: Перевод в десятичную дробь и округление до сотых. Теперь вычисляем: \[ \frac{11}{84} \approx 0.130952 \] Округляем до сотых: \[ 0.13 \]
Ответ: Вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет 0.13.
