Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Условие задачи: У Кирилла в ящике лежат 11 гелевых и 11 шариковых ручек. Он достает ручки наугад до тех пор, пока не вытянет гелевую. Нас интересует вероятность того, что первая гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту.
Обозначим ручки:
- Гелевые ручки - обозначим как "Г"
- Шариковые ручки - обозначим как "Ш"
Общая информация:
Всего ручек у Кирилла:
[ 11 \text{ (гелевых)} + 11 \text{ (шариковых)} = 22 \text{ ручки} ]
События:
Чтобы гелевая ручка оказалась третьей, должно произойти следующее:
- Первые две вытянутые ручки должны быть шариковыми.
- Третья вытянутая ручка должна быть гелевой.
Шаг 1: Вероятность вытянуть две шариковые ручки подряд.
Вероятность, что первая ручка будет шариковой:
[ P(\text{Ш}) = \frac{11}{22} = \frac{1}{2} ]
Вероятность, что вторая ручка также будет шариковой (после того, как уже достали одну шариковую):
[ P(\text{Ш | первая Ш}) = \frac{10}{21} ]
Теперь можем найти полную вероятность того, что первые две ручки будут шариковыми:
[ P(\text{первые две Ш}) = P(\text{Ш}) \cdot P(\text{Ш | первая Ш}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{21} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21} ]
Шаг 2: Вероятность того, что третья ручка будет гелевой.
На данный момент у нас осталось 20 ручек: 11 из них гелевые, и это будет вероятность достать гелевую ручку:
[ P(\text{Г}) = \frac{11}{20} ]
Шаг 3: Найдем полную вероятность.
Согласно правилу умножения вероятностей:
[ P(\text{две Ш и затем Г}) = P(\text{первые две Ш}) \cdot P(\text{Г}) ]
[ P(\text{две Ш и затем Г}) = \frac{5}{21} \cdot \frac{11}{20} = \frac{55}{420} ]
Шаг 4: Упростим дробь.
Упрощаем дробь (\frac{55}{420}):
- Найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 55 и 420, который равен 5.
- Делим числитель и знаменатель на 5:
[ \frac{55 \div 5}{420 \div 5} = \frac{11}{84} ]
Шаг 5: Перевод в десятичную дробь и округление до сотых.
Теперь вычисляем:
[ \frac{11}{84} \approx 0.130952 ]
Округляем до сотых:
[ 0.13 ]
Ответ: Вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет 0.13.
