Найти значение выражения
Чтобы решить выражение, сначала разберем его части и упростим.
Дано выражение:
\[ \frac{\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8}} \]
Шаг 1: Упрощение косинуса и тангенса
Косинус: \(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4}\) \ \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Тангенс: \(\tan \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\tan \frac{2\pi}{3}\) \ \(\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}\), следовательно, \(\tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 3\)
Шаг 2: Упростим знаменатель
\[ \sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \left(2 \times \frac{5\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right) \]
\[ \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Следовательно, знаменатель равен:
\[ \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \]
Шаг 3: Подставим обратно в выражение
Числитель: \(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Знаменатель: \(-\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Полное выражение:
\[ \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \times -\frac{4}{\sqrt{2}} = 3 \times -2 = -6 \]
Таким образом, значение выражения равно \(-6\).
