Чтобы решить выражение, сначала разберем его части и упростим.
Дано выражение:
[
\frac{\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8}}
]
Шаг 1: Упрощение косинуса и тангенса
Косинус: (\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4}) \
(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2})
Тангенс: (\tan \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\tan \frac{2\pi}{3}) \
(\tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}), следовательно, (\tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 3)
Шаг 2: Упростим знаменатель
[
\sin \frac{5\pi}{8} \cdot \cos \frac{5\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \left(2 \times \frac{5\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{5\pi}{4}\right)
]
[
\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Следовательно, знаменатель равен:
[
\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{4}
]
Шаг 3: Подставим обратно в выражение
Числитель: (\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan^2 \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{2}}{2})
Знаменатель: (-\frac{\sqrt{2}}{4})
Полное выражение:
[
\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \times -\frac{4}{\sqrt{2}} = 3 \times -2 = -6
]
Таким образом, значение выражения равно (-6).
