Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 40 40 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения этой задачи обозначим время, которое потребовалось бы каждому дизайнеру для оформления учебника в одиночку.

1. Пусть первый дизайнер может оформить учебник за \( x \) часов.
2. Пусть второй дизайнер может оформить учебник за \( y \) часов.

Теперь мы знаем, что:

• Когда оба работают вместе, они выполняют работу за 40 часов.
• Когда один дизайнер делает половину работы, а второй завершает оставшуюся половину, это занимает 98 часов.

Шаг 1: Составим уравнения

Уравнение 1 (совместная работа): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{40} \] Это уравнение говорит о том, что их совместная работа (сумма их производительности) составляет \( \frac{1}{40} \) работы в час.

Уравнение 2 (поочередная работа): Если первый дизайнер делает половину работы, это занимает \( \frac{x}{2} \) часов, и затем второй дизайнер завершает, что занимает \( \frac{y}{2} \) часов. Итак, общее время: \[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 98 \] Можно упростить это уравнение: \[ \frac{x + y}{2} = 98 \] Отсюда: \[ x + y = 196 \]

Шаг 2: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{40} \)
2. \( x + y = 196 \)

Преобразуем первое уравнение

Умножим все члены первого уравнения на \( xy \): \[ y + x = \frac{xy}{40} \] Заменим \( y \) на \( 196 - x \) из второго уравнения: \[ 196 - x + x = \frac{x(196 - x)}{40} \]

При этом упростим: \[ 196 = \frac{x(196 - x)}{40} \]

Умножим обе стороны на 40: \[ 7840 = x(196 - x) \] \[ 7840 = 196x - x^2 \]

Приведем уравнение к стандартной форме

Перепишем уравнение: \[ x^2 - 196x + 7840 = 0 \]

Шаг 3: Найдём корни квадратного уравнения

Используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-196)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7840 \] \[ D = 38416 - 31360 = 7046 \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{196 \pm \sqrt{7046}}{2} \]

Посчитаем: \[ \sqrt{7046} \approx 83.8 \] Таким образом: \[ x_1 = \frac{196 + 83.8}{2} \approx 139.9 \] \[ x_2 = \frac{196 - 83.8}{2} \approx 56.1 \]

За околицами:

1. \( x \approx 139.9 \) (Первый дизайнер)
2. \( y \approx 56.1 \) (Второй дизайнер)

Ответ

Первый дизайнер мог бы оформить учебник алгебры за приблизительно \( 140 \) часов, а второй дизайнер — за приблизительно \( 56 \) часов.