y’’-6y’+9y=2x²-x+3
Давайте решим данное дифференциальное уравнение второго порядка:
\[ y'' - 6y' + 9y = 2x^2 - x + 3 \]
Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения
Сначала рассмотрим однородное уравнение, приравняв правую часть к нулю:
\[ y'' - 6y' + 9y = 0 \]
Для этого уравнения найдем характеристическое уравнение:
\[ r^2 - 6r + 9 = 0 \]
Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу для корней:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \):
\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} = 3 \]
У нас есть один корень \( r = 3 \), который имеет кратность 2. Общее решение однородного уравнения будет:
\[ y_h = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} \]
где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.
Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения
Теперь, чтобы найти частное решение \( y_p \) для уравнения, рассмотрим правую часть \( 2x^2 - x + 3 \). Предположим, что частное решение имеет вид полинома второй степени:
\[ y_p = Ax^2 + Bx + C \]
Теперь вычислим производные:
\[ y_p' = 2Ax + B \]
\[ y_p'' = 2A \]
Подставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) обратно в исходное уравнение:
\[ 2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C) = 2x^2 - x + 3 \]
Сначала разложим уравнение:
\[ 2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C = 2x^2 - x + 3 \]
Теперь соберем подобные члены:
\[ 9Ax^2 + (-12A + 9B)x + (2A - 6B + 9C) = 2x^2 - x + 3 \]
Теперь мы можем сопоставить коэффициенты:
\( 9A = 2 \) → \( A = \frac{2}{9} \)
\( -12A + 9B = -1 \) Подставим \( A = \frac{2}{9} \):
\[ -12\left(\frac{2}{9}\right) + 9B = -1 \]
\[ -\frac{24}{9} + 9B = -1 \quad \Rightarrow \quad 9B = -1 + \frac{24}{9} = \frac{15}{9} \quad \Rightarrow \quad B = \frac{15}{81} = \frac{5}{27} \]
\( 2A - 6B + 9C = 3 \) Подставим \( A = \frac{2}{9} \) и \( B = \frac{5}{27} \):
\[ 2\left(\frac{2}{9}\right) - 6\left(\frac{5}{27}\right) + 9C = 3 \]
\[ \frac{4}{9} - \frac{30}{27} + 9C = 3 \]
Приведем \( -\frac{30}{27} \) к общему знаменателю:
\[ -\frac{30}{27} = -\frac{10}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{9} - \frac{10}{9} + 9C = 3 \]
\[ -\frac{6}{9} + 9C = 3 \quad \Rightarrow \quad 9C = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \]
\[ C = \frac{11}{27} \]
Теперь у нас есть:
\[ y_p = \frac{2}{9}x^2 + \frac{5}{27}x + \frac{11}{27} \]
Шаг 3: Запишем общее решение
Общее решение уравнения будет равно:
\[ y = y_h + y_p \]
\[ y = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + \frac{2}{9}x^2 + \frac{5}{27}x + \frac{11}{27} \]
Это и есть окончательное решение данного дифференциального уравнения. Если у вас остались вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
