Y’’-6y’+9y=2x²-x+3

Давайте решим данное дифференциальное уравнение второго порядка: \[ y'' - 6y' + 9y = 2x^2 - x + 3 \] ### Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения Сначала рассмотрим однородное уравнение, приравняв правую часть к нулю: \[ y'' - 6y' + 9y = 0 \] Для этого уравнения найдем характеристическое уравнение: \[ r^2 - 6r + 9 = 0 \] Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу для корней: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \): \[ r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2} = 3 \] У нас есть один корень \( r = 3 \), который имеет кратность 2. Общее решение однородного уравнения будет: \[ y_h = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} \] где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные. ### Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения Теперь, чтобы найти частное решение \( y_p \) для уравнения, рассмотрим правую часть \( 2x^2 - x + 3 \). Предположим, что частное решение имеет вид полинома второй степени: \[ y_p = Ax^2 + Bx + C \] Теперь вычислим производные: \[ y_p' = 2Ax + B \] \[ y_p'' = 2A \] Подставим \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) обратно в исходное уравнение: \[ 2A - 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C) = 2x^2 - x + 3 \] Сначала разложим уравнение: \[ 2A - 12Ax - 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C = 2x^2 - x + 3 \] Теперь соберем подобные члены: \[ 9Ax^2 + (-12A + 9B)x + (2A - 6B + 9C) = 2x^2 - x + 3 \] Теперь мы можем сопоставить коэффициенты: 1. \( 9A = 2 \) → \( A = \frac{2}{9} \) 2. \( -12A + 9B = -1 \) Подставим \( A = \frac{2}{9} \): \[ -12\left(\frac{2}{9}\right) + 9B = -1 \] \[ -\frac{24}{9} + 9B = -1 \quad \Rightarrow \quad 9B = -1 + \frac{24}{9} = \frac{15}{9} \quad \Rightarrow \quad B = \frac{15}{81} = \frac{5}{27} \] 3. \( 2A - 6B + 9C = 3 \) Подставим \( A = \frac{2}{9} \) и \( B = \frac{5}{27} \): \[ 2\left(\frac{2}{9}\right) - 6\left(\frac{5}{27}\right) + 9C = 3 \] \[ \frac{4}{9} - \frac{30}{27} + 9C = 3 \] Приведем \( -\frac{30}{27} \) к общему знаменателю: \[ -\frac{30}{27} = -\frac{10}{9} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{9} - \frac{10}{9} + 9C = 3 \] \[ -\frac{6}{9} + 9C = 3 \quad \Rightarrow \quad 9C = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \] \[ C = \frac{11}{27} \] Теперь у нас есть: \[ y_p = \frac{2}{9}x^2 + \frac{5}{27}x + \frac{11}{27} \] ### Шаг 3: Запишем общее решение Общее решение уравнения будет равно: \[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 e^{3x} + C_2 x e^{3x} + \frac{2}{9}x^2 + \frac{5}{27}x + \frac{11}{27} \] Это и есть окончательное решение данного дифференциального уравнения. Если у вас остались вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!