Найдите количество двузначных натуральных чисел X, для которых ложно высказывание: (X ≥ 25) И НЕ (X > 50) ИЛИ (X кратно 3).
Чтобы решить задачу, сначала разберёмся с условием и найдем значение выражения, которое заведомо ложно.
Рассмотрим логическое выражение:
\[ (X \geq 25) \land \neg (X > 50) \lor (X \text{ кратно } 3) \]
Для того чтобы было ложно, необходимо, чтобы выполнялось:
\[ \neg \left( (X \geq 25) \land \neg (X > 50) \lor (X \text{ кратно } 3) \right) \]
Мы можем применить правила логики, чтобы переписать выражение.
Применим закон де Моргана к выражению:
Шаг 1: Найдем отрицание всего выражения: \[ \neg\left((X \geq 25) \land \neg (X > 50)\right) \land \neg (X \text{ кратно } 3) \]
Шаг 2: Применим закон де Моргана к первой части: \[ (\neg (X \geq 25) \lor (X > 50)) \land \neg (X \text{ кратно } 3) \]
Теперь разберем каждую часть:
- \(\neg (X \geq 25)\) означает \(X < 25\).
- \((X > 50)\) означает, что рассмотрим числа больше 50.
- \(\neg (X \text{ кратно } 3)\) означает, что число не кратно 3.
Теперь у нас есть выражение:
\[ (X < 25 \lor X > 50) \land \neg (X \text{ кратно } 3) \]
Теперь найдем все двузначные натуральные числа \(X\) (от 10 до 99), которые удовлетворяют этому условию.
Шаг 3: Найдем всё подходящее значение
- Числа меньше 25: это 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.
- У нас есть 15 чисел, из которых нужно исключить те, которые кратны 3: 12, 15, 18, 21, 24. Они составляют 5 чисел.
Таким образом, для чисел меньше 25, не кратных 3:
\[ 15 - 5 = 10 \]
- Числа больше 50: это 51, 52, ..., 99. Общее количество = 99 - 51 + 1 = 49 чисел.
- Из них тоже исключим те, которые кратны 3: 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99 (всего 17 чисел кратны 3)
Значит, для чисел больше 50, не кратных 3:
\[ 49 - 17 = 32 \]
Шаг 4: Подсчитаем общее количество
Теперь сложим количество чисел из обеих частей:
\[ 10 (X < 25) + 32 (X > 50) = 42 \]
Ответ:
Количество двузначных натуральных чисел \(X\), для которых данное высказывание ложно, составляет 42.
