Реши

Для решения задачи необходимо, чтобы неравенство было верным при любом \( x \). Рассмотрим неравенство:

\[ \sin x < a^2 - a - 1 \]

Максимальное значение \(\sin x\) равно 1. Таким образом, для неравенства быть верным для всех \( x \) необходимо:

\[ 1 < a^2 - a - 1 \]

Перепишем это неравенство:

\[ a^2 - a - 1 > 1 \]

\[ a^2 - a - 2 > 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство \(a^2 - a - 2 > 0\). Найдем корни квадратного уравнения:

\[ a^2 - a - 2 = 0 \]

Воспользуемся дискриминантом \(D\):

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

\[ a_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Таким образом, уравнение \(a^2 - a - 2\) имеет корни \(a = 2\) и \(a = -1\).

Квадратное неравенство \(a^2 - a - 2 > 0\) будет выполняться на промежутках за пределами корней:

\[ a \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \]

Таким образом, для выполнения исходного неравенства при любом \( x \), \( a \) должно принадлежать промежуткам \((- \infty, -1)\) или \((2, +\infty)\).