Для решения задачи необходимо, чтобы неравенство было верным при любом ( x ). Рассмотрим неравенство:
[
\sin x < a^2 - a - 1
]
Максимальное значение (\sin x) равно 1. Таким образом, для неравенства быть верным для всех ( x ) необходимо:
[
1 < a^2 - a - 1
]
Перепишем это неравенство:
[
a^2 - a - 1 > 1
]
[
a^2 - a - 2 > 0
]
Теперь решим квадратное неравенство (a^2 - a - 2 > 0). Найдем корни квадратного уравнения:
[
a^2 - a - 2 = 0
]
Воспользуемся дискриминантом (D):
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
]
Корни уравнения:
[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2}
]
[
a_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad a_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1
]
Таким образом, уравнение (a^2 - a - 2) имеет корни (a = 2) и (a = -1).
Квадратное неравенство (a^2 - a - 2 > 0) будет выполняться на промежутках за пределами корней:
[
a \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)
]
Таким образом, для выполнения исходного неравенства при любом ( x ), ( a ) должно принадлежать промежуткам ((- \infty, -1)) или ((2, +\infty)).
