Для решения этой задачи используют понятие комбинаторики, а именно — сочетания. Мы хотим выбрать 12 учеников из 26, причем порядок выбора не важен.
Формула для вычисления количества сочетаний выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее количество элементов (в нашем случае 26 учеников),
- ( k ) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 12 учеников),
- ( ! ) — факториал числа, то есть произведение всех натуральных чисел до этого числа.
Теперь подставим значения в формулу:
[
C(26, 12) = \frac{26!}{12!(26-12)!} = \frac{26!}{12! \cdot 14!}
]
Чтобы упростить вычисления, можно разложить факториалы следующим образом. Мы можем выразить ( 26! ) как ( 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14! ). Таким образом, ( 14! ) в числителе и знаменателе сокращается:
[
C(26, 12) = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{12!}
]
Теперь рассчитаем ( 12! ):
[
12! = 479001600
]
Теперь вычислим числитель:
[
26 \times 25 = 650
]
[
650 \times 24 = 15600
]
[
15600 \times 23 = 358800
]
[
358800 \times 22 = 7892160
]
[
7892160 \times 21 = 165772320
]
[
165772320 \times 20 = 3315446400
]
[
3315446400 \times 19 = 62993481600
]
[
62993481600 \times 18 = 1133872316800
]
[
1133872316800 \times 17 = 19275605885600
]
[
19275605885600 \times 16 = 308409693177600
]
[
308409693177600 \times 15 = 4626145397664000
]
Теперь разделим на ( 12! ):
[
C(26, 12) = \frac{4626145397664000}{479001600} \approx 966222
]
Таким образом, классный руководитель может выбрать 12 учеников из 26 следующим образом: 966222 способов.
