КР №8 Обратные тригонометрические функции Вариант 1 1. Построить график функции у = 1 + cos 2x 2. Определить, является ли данная функция четной или нечетной у = cos(2x²) - х 3. Найдите значение выражения √3 а) арксинус 2 6) arccos(-1) Б) arcctg(-√3) 4. Вычислить sin (arcctg(-√3) + arcctg)

Решим задачу поэтапно, отталкиваясь от каждого пункта. ### 1. Построить график функции у = 1 + cos(2x) #### Шаг 1: Определим основные характеристики функции. Функция \( y = 1 + \cos(2x) \) - это косинус, смещённый вверх на 1. - **Период** косинусной функции \( \cos(kx) \) определяется как \( \frac{2\pi}{k} \). В нашем случае \( k = 2 \), следовательно, период функции составляет \( \frac{2\pi}{2} = \pi \). - **Амплитуда** функции равна 1 (максимальное и минимальное значение функции будут 1 + 1 = 2 и 1 - 1 = 0 соответственно). #### Шаг 2: Построим график. 1. Определим значения функции в интервале от \( 0 \) до \( 2\pi \): - При \( x = 0 \): \( y = 1 + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \) - При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( y = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1 \) - При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 1 + \cos(\pi) = 1 - 1 = 0 \) - При \( x = \frac{3\pi}{4} \): \( y = 1 + \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 + 0 = 1 \) - При \( x = \pi \): \( y = 1 + \cos(2\pi) = 1 + 1 = 2 \) 2. Нанесём на координатную плоскость полученные точки, и проведём график. ### 2. Определить, является ли функция \( y = \cos(2x^2) - x \) четной или нечетной. Чтобы выяснить, четная или нечетная функция, надо проверить: - Функция \( f(x) \) четная, если \( f(-x) = f(x) \). - Функция \( f(x) \) нечетная, если \( f(-x) = -f(x) \). #### Шаг 1: Вычислим \( f(-x) \): \( f(-x) = \cos(2(-x)^2) - (-x) = \cos(2x^2) + x \) #### Шаг 2: Сравниваем: - \( f(x) = \cos(2x^2) - x \) - \( f(-x) = \cos(2x^2) + x \) Таким образом: - \( f(-x) \neq f(x) \) (функция нечетная) - \( f(-x) \neq -f(x) \) (это тоже не нечетная функция) Следовательно, функция \( f(x) \) не является ни четной, ни нечетной. ### 3. Найдите значение выражений: а) \( \arcsin(2) \) Поскольку \( \arcsin(x) \) определён только для \( x \) в диапазоне от -1 до 1, \( \arcsin(2) \) не существует. б) \( \arccos(-1) \) Это значение равно \( \pi \), так как \( \cos(\pi) = -1 \). в) \( \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \) Значение \( \text{ctg}(\theta) = -\sqrt{3} \) соответствуют углам \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) и \( \theta = \frac{11\pi}{6} \) (но \( \text{arcctg} \) принимает значения в диапазоне от \( 0 \) до \( \pi \), следовательно, ответ: \( \theta = \frac{5\pi}{6} \)). ### 4. Вычислить \( \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) + \text{arcctg}(1) \) - Первый шаг: находим \( \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) \). Если \( \theta = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \), значит: \[ \cot(\theta) = -\sqrt{3} \implies \tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Это означает, что при \( \theta = \frac{5\pi}{6} \), можем взять прямоугольный треугольник, у которого: - Противолежащий катет = 1 - Прилежащий катет = -\sqrt{3} - Гипотенуза = 2 (по теореме Пифагора) Таким образом, \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \). - Второй шаг: \( \text{arcctg}(1) \). Основной угол, для которого \( \text{ctg}(\phi) = 1 \), равен \( \frac{\pi}{4} \). Теперь соберём всё вместе: \[ \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) + \sin(\text{arcctg}(1)) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, конечный ответ на пункт 4: \[ \sin\left(\text{arcctg}(-\sqrt{3})\right) + \sin\left(\text{arcctg}(1)\right) = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \] Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!