КР №8 Обратные тригонометрические функции Вариант 1 1. Построить график функции у = 1 + cos 2x 2. Определить, является ли данная функция четной или нечетной у = cos(2x²) - х 3.…

Решим задачу поэтапно, отталкиваясь от каждого пункта.

1. Построить график функции у = 1 + cos(2x)

Шаг 1: Определим основные характеристики функции.

Функция \( y = 1 + \cos(2x) \) - это косинус, смещённый вверх на 1.

• Период косинусной функции \( \cos(kx) \) определяется как \( \frac{2\pi}{k} \). В нашем случае \( k = 2 \), следовательно, период функции составляет \( \frac{2\pi}{2} = \pi \).
• Амплитуда функции равна 1 (максимальное и минимальное значение функции будут 1 + 1 = 2 и 1 - 1 = 0 соответственно).

Шаг 2: Построим график.

1. Определим значения функции в интервале от \( 0 \) до \( 2\pi \):

   • При \( x = 0 \): \( y = 1 + \cos(0) = 1 + 1 = 2 \)
   • При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( y = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1 \)
   • При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 1 + \cos(\pi) = 1 - 1 = 0 \)
   • При \( x = \frac{3\pi}{4} \): \( y = 1 + \cos(\frac{3\pi}{2}) = 1 + 0 = 1 \)
   • При \( x = \pi \): \( y = 1 + \cos(2\pi) = 1 + 1 = 2 \)

2. Нанесём на координатную плоскость полученные точки, и проведём график.

2. Определить, является ли функция \( y = \cos(2x^2) - x \) четной или нечетной.

Чтобы выяснить, четная или нечетная функция, надо проверить:

• Функция \( f(x) \) четная, если \( f(-x) = f(x) \).
• Функция \( f(x) \) нечетная, если \( f(-x) = -f(x) \).

Шаг 1: Вычислим \( f(-x) \):

\( f(-x) = \cos(2(-x)^2) - (-x) = \cos(2x^2) + x \)

Шаг 2: Сравниваем:

• \( f(x) = \cos(2x^2) - x \)
• \( f(-x) = \cos(2x^2) + x \)

Таким образом:

• \( f(-x) \neq f(x) \) (функция нечетная)
• \( f(-x) \neq -f(x) \) (это тоже не нечетная функция)

Следовательно, функция \( f(x) \) не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдите значение выражений:

а) \( \arcsin(2) \)

Поскольку \( \arcsin(x) \) определён только для \( x \) в диапазоне от -1 до 1, \( \arcsin(2) \) не существует.

б) \( \arccos(-1) \)

Это значение равно \( \pi \), так как \( \cos(\pi) = -1 \).

в) \( \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \)

Значение \( \text{ctg}(\theta) = -\sqrt{3} \) соответствуют углам \( \theta = \frac{5\pi}{6} \) и \( \theta = \frac{11\pi}{6} \) (но \( \text{arcctg} \) принимает значения в диапазоне от \( 0 \) до \( \pi \), следовательно, ответ: \( \theta = \frac{5\pi}{6} \)).

4. Вычислить \( \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) + \text{arcctg}(1) \)

• Первый шаг: находим \( \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) \).

  Если \( \theta = \text{arcctg}(-\sqrt{3}) \), значит:

  \[ \cot(\theta) = -\sqrt{3} \implies \tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

  Это означает, что при \( \theta = \frac{5\pi}{6} \), можем взять прямоугольный треугольник, у которого:

  • Противолежащий катет = 1
  • Прилежащий катет = -\sqrt{3}
  • Гипотенуза = 2 (по теореме Пифагора)

  Таким образом, \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \).

• Второй шаг: \( \text{arcctg}(1) \).

  Основной угол, для которого \( \text{ctg}(\phi) = 1 \), равен \( \frac{\pi}{4} \).

Теперь соберём всё вместе: \[ \sin(\text{arcctg}(-\sqrt{3})) + \sin(\text{arcctg}(1)) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, конечный ответ на пункт 4: \[ \sin\left(\text{arcctg}(-\sqrt{3})\right) + \sin\left(\text{arcctg}(1)\right) = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \]

Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!