р

Чтобы найти площадь фигуры, заданной системой неравенств, давайте решим каждое неравенство и определим область, которую они ограничивают:

1. \(x \leq 3\):

   • Это неравенство задает вертикальную линию \(x = 3\). Все точки слева от этой линии (включая линию) входят в область решений.

2. \(y \leq 6\):

   • Это горизонтальная линия \(y = 6\). Все точки ниже этой линии (включая линию) входят в область решений.

3. \(y + 2x \geq 5\):

   • Преобразуем неравенство: \(y \geq -2x + 5\).
   • Это неравенство задает область над прямой \(y = -2x + 5\).

Область решений:

Теперь пересечём все неравенства:

• Вертикальная полуплоскость слева от \(x = 3\).
• Горизонтальная полуплоскость ниже \(y = 6\).
• Полуплоскость выше линии \(y = -2x + 5\).

Определим точки пересечения:

1. Пересечение \(x = 3\) и \(y = -2x + 5\): \[ y = -2(3) + 5 = -6 + 5 = -1. \] Точка: \((3, -1)\).

2. Пересечение \(y = 6\) и \(y = -2x + 5\): \[ 6 = -2x + 5 \Rightarrow 1 = -2x \Rightarrow x = -\frac{1}{2}. \] Точка: \(\left(-\frac{1}{2}, 6\right)\).

3. Пересечение \(x = 3\) и \(y = 6\): Точка: \((3, 6)\).

Построим фигуру:

Четырехугольник с вершинами:

• \((3, -1)\)
• \((3, 6)\)
• \(\left(-\frac{1}{2}, 6\right)\)
• Пересечение \(y + 2x = 5\), \(x = -\frac{1}{2}\).

Вычислим площадь:

Это трапеция. Формула площади трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times h, \] где \(b_1\) и \(b_2\) — длины параллельных сторон, \(h\) — высота.

Точнее:

• \(b_1 = 6 - (-1) = 7\) (длина от \(y = 6\) до \(y = -1\) при \(x = 3\)).
• \(b_2 = 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) (длина от \(y = 6\) до пересечения с \(y = -2x + 5\)).
• Высота \(h = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).

Подставляем: \[ S = \frac{1}{2} \times \left(7 + \frac{7}{2}\right) \times \frac{7}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{21}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7 \times 21}{8} = \frac{147}{8}. \]

Площадь области равна \(\frac{147}{8}\).