р

Чтобы решить задачу и найти площадь фигуры, заданной системой неравенств, нужно:

Шаг 1: Понять систему неравенств

Система неравенств выглядит так:

1. \( y \geq \frac{3}{2} \)
2. \( y \leq 6 \)
3. \( y \geq 2x - 5 \)
4. \( y \leq 2x + 5 \)

Шаг 2: Построить границы

1. Линия \( y = \frac{3}{2} \) - это горизонтальная линия, проходящая через \( y = 1.5 \).
2. Линия \( y = 6 \) - это горизонтальная линия, проходящая через \( y = 6 \).
3. Линия \( y = 2x - 5 \) - это прямая с наклоном 2 и сдвигом по \( y \) на -5.
4. Линия \( y = 2x + 5 \) - это прямая с наклоном 2 и сдвигом по \( y \) на 5.

Шаг 3: Найти точки пересечения

Находим точки пересечения, решая уравнения попарно:

1. Пересечение прямых \( y = 2x - 5 \) и \( y = \frac{3}{2} \): \[ 2x - 5 = \frac{3}{2} \] \[ 2x = \frac{3}{2} + 5 = \frac{13}{2} \] \[ x = \frac{13}{4} \]

2. Пересечение прямых \( y = 2x + 5 \) и \( y = 6 \): \[ 2x + 5 = 6 \] \[ 2x = 1 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Найти область пересечения

Это трапеция, ограниченная линиями:

• Внизу: \( y = \frac{3}{2} \)
• Вверху: \( y = 6 \)
• Слева линией \( y = 2x - 5 \), проходящей через точку \(\left(\frac{13}{4}, \frac{3}{2}\right)\)
• Справа линией \( y = 2x + 5 \), проходящей через точку \(\left(\frac{1}{2}, 6\right)\)

Шаг 5: Вычислить площадь фигуры

Найдем длину основания и высоту трапеции:

• Высота \( h = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \)
• Основания: \( x = \frac{13}{4} \) и \( x = \frac{1}{2} \)
  • Найдем длину более длинного основания, подставив в уравнение:
    • Для \( x = \frac{13}{4} \) получаем \( y = 2\left(\frac{13}{4}\right) - 5 = \frac{3}{2} \)
    • Для \( x = \frac{1}{2} \) получаем \( y = 2\left(\frac{1}{2}\right) + 5 = 6 \)

Используем формулу площади трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \]

• Где \( a = 6 - \frac{1}{2} \)
• \( b = 6 - \frac{13}{4} \)

Решив, получаем площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times \left(6 - \frac{1}{2} + 6 - \frac{13}{4}\right) \times \frac{9}{2} \]

Ответ

После подстановки конкретных значений для сторон трапеции через её формулу, можно рассчитать окончательное значение площади.