Монету бросают 13 раз. С какой вероятностью орлов выпадет больше, чем решек

Чтобы решить задачу о вероятности того, что при 13 подбрасываниях монеты орлов (орел - "O") выпадет больше, чем решек (решка - "H"), можем воспользоваться методом подсчёта вероятностей.

Шаг 1: Определение условий

При 13 бросках монеты возможны результаты:

• Количество орлов: \( k \)
• Количество решек: \( 13 - k \)

Нам нужно найти вероятность того, что \( k > 6.5 \). Поскольку \( k \) должно быть целым числом, это означает, что возможные значения \( k \) будут от 7 до 13 включительно.

Шаг 2: Подсчёт вероятностей

Мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность получения необходимого количества орлов:

\[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) - общее количество бросков (13)
• \( k \) - количество орлов (от 7 до 13)
• \( p \) - вероятность выпадения орла (0.5 для честной монеты)
• \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \) бросков.

Шаг 3: Расчёт для каждого \( k \)

Теперь посчитаем вероятность для каждого \( k \) от 7 до 13:

1. Для \( k = 7 \): \[ P(7) = C(13, 7) \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{6} = C(13, 7) \cdot (0.5)^{13} \]

2. Для \( k = 8 \): \[ P(8) = C(13, 8) \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{5} = C(13, 8) \cdot (0.5)^{13} \]

3. Для \( k = 9 \): \[ P(9) = C(13, 9) \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^{4} = C(13, 9) \cdot (0.5)^{13} \]

4. Для \( k = 10 \): \[ P(10) = C(13, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{3} = C(13, 10) \cdot (0.5)^{13} \]

5. Для \( k = 11 \): \[ P(11) = C(13, 11) \cdot (0.5)^{11} \cdot (0.5)^{2} = C(13, 11) \cdot (0.5)^{13} \]

6. Для \( k = 12 \): \[ P(12) = C(13, 12) \cdot (0.5)^{12} \cdot (0.5)^{1} = C(13, 12) \cdot (0.5)^{13} \]

7. Для \( k = 13 \): \[ P(13) = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{0} = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} \]

Шаг 4: Объединение вероятностей

Теперь нужно суммировать эти вероятности для \( k \) от 7 до 13:

\[ P(k > 6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12) + P(13) \]

Для каждого \( C(13, k) \) можно использовать формулу биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 5: Численные вычисления

Выразим всё это в числовом виде и посчитаем:

1. \( P(7) = C(13, 7) \cdot (0.5)^{13} = 1716 \cdot (0.5)^{13} \)
2. \( P(8) = C(13, 8) \cdot (0.5)^{13} = 1287 \cdot (0.5)^{13} \)
3. \( P(9) = C(13, 9) \cdot (0.5)^{13} = 715 \cdot (0.5)^{13} \)
4. \( P(10) = C(13, 10) \cdot (0.5)^{13} = 286 \cdot (0.5)^{13} \)
5. \( P(11) = C(13, 11) \cdot (0.5)^{13} = 78 \cdot (0.5)^{13} \)
6. \( P(12) = C(13, 12) \cdot (0.5)^{13} = 13 \cdot (0.5)^{13} \)
7. \( P(13) = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} = 1 \cdot (0.5)^{13} \)

Теперь суммируем:

\[ P(k > 6) = (1716 + 1287 + 715 + 286 + 78 + 13 + 1) \cdot (0.5)^{13} \] \[ P(k > 6) = 4096 \cdot \frac{1}{8192} = \frac{4096}{8192} = \frac{1}{2} \]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, вероятность того, что орлов выпало больше, чем решек, составляет \( \frac{1}{2} \) или 50%.