Монету бросают 13 раз. С какой вероятностью орлов выпадет больше, чем решек

Чтобы решить задачу о вероятности того, что при 13 подбрасываниях монеты орлов (орел - "O") выпадет больше, чем решек (решка - "H"), можем воспользоваться методом подсчёта вероятностей. ### Шаг 1: Определение условий При 13 бросках монеты возможны результаты: - Количество орлов: \( k \) - Количество решек: \( 13 - k \) Нам нужно найти вероятность того, что \( k > 6.5 \). Поскольку \( k \) должно быть целым числом, это означает, что возможные значения \( k \) будут от 7 до 13 включительно. ### Шаг 2: Подсчёт вероятностей Мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность получения необходимого количества орлов: \[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( n \) - общее количество бросков (13) - \( k \) - количество орлов (от 7 до 13) - \( p \) - вероятность выпадения орла (0.5 для честной монеты) - \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \) бросков. ### Шаг 3: Расчёт для каждого \( k \) Теперь посчитаем вероятность для каждого \( k \) от 7 до 13: 1. Для \( k = 7 \): \[ P(7) = C(13, 7) \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{6} = C(13, 7) \cdot (0.5)^{13} \] 2. Для \( k = 8 \): \[ P(8) = C(13, 8) \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{5} = C(13, 8) \cdot (0.5)^{13} \] 3. Для \( k = 9 \): \[ P(9) = C(13, 9) \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^{4} = C(13, 9) \cdot (0.5)^{13} \] 4. Для \( k = 10 \): \[ P(10) = C(13, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{3} = C(13, 10) \cdot (0.5)^{13} \] 5. Для \( k = 11 \): \[ P(11) = C(13, 11) \cdot (0.5)^{11} \cdot (0.5)^{2} = C(13, 11) \cdot (0.5)^{13} \] 6. Для \( k = 12 \): \[ P(12) = C(13, 12) \cdot (0.5)^{12} \cdot (0.5)^{1} = C(13, 12) \cdot (0.5)^{13} \] 7. Для \( k = 13 \): \[ P(13) = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} \cdot (0.5)^{0} = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} \] ### Шаг 4: Объединение вероятностей Теперь нужно суммировать эти вероятности для \( k \) от 7 до 13: \[ P(k > 6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12) + P(13) \] Для каждого \( C(13, k) \) можно использовать формулу биномиального коэффициента: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### Шаг 5: Численные вычисления Выразим всё это в числовом виде и посчитаем: 1. \( P(7) = C(13, 7) \cdot (0.5)^{13} = 1716 \cdot (0.5)^{13} \) 2. \( P(8) = C(13, 8) \cdot (0.5)^{13} = 1287 \cdot (0.5)^{13} \) 3. \( P(9) = C(13, 9) \cdot (0.5)^{13} = 715 \cdot (0.5)^{13} \) 4. \( P(10) = C(13, 10) \cdot (0.5)^{13} = 286 \cdot (0.5)^{13} \) 5. \( P(11) = C(13, 11) \cdot (0.5)^{13} = 78 \cdot (0.5)^{13} \) 6. \( P(12) = C(13, 12) \cdot (0.5)^{13} = 13 \cdot (0.5)^{13} \) 7. \( P(13) = C(13, 13) \cdot (0.5)^{13} = 1 \cdot (0.5)^{13} \) Теперь суммируем: \[ P(k > 6) = (1716 + 1287 + 715 + 286 + 78 + 13 + 1) \cdot (0.5)^{13} \] \[ P(k > 6) = 4096 \cdot \frac{1}{8192} = \frac{4096}{8192} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 6: Ответ Таким образом, вероятность того, что орлов выпало больше, чем решек, составляет \( \frac{1}{2} \) или 50%.