.

Привет! Давай разберемся вместе с проблемой на картинке.

У нас дан прямоугольный треугольник \( ABC \), гипотенуза равна \( 16 \) и угол \( BAC = 45^\circ \).

Так как угол \( BAC = 45^\circ \), то этот треугольник является прямоугольным и равнобедренным (потому что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и в нашем случае каждый из них равен \( 45^\circ \), а третий угол \( 90^\circ \) по свойству суммы углов треугольника). Это значит, что катеты этого треугольника равны друг другу.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. В нашем случае катеты равны, поэтому можно записать:

\( AC^2 + AC^2 = 16^2 \)

\( 2AC^2 = 256 \)

Теперь разделим обе стороны на 2, чтобы найти значение \( AC^2 \):

\( AC^2 = 128 \)

Теперь нам нужно извлечь квадратный корень из \( 128 \), чтобы найти длину катета \( AC \):

\( AC = \sqrt{128} \)

\( AC = \sqrt{64 \cdot 2} \)

\( AC = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} \)

\( AC = 8\sqrt{2} \)

Получается, длина катета \( AC \) равна \( 8\sqrt{2} \). И это наш окончательный ответ.

Следовательно, правильный вариант ответа — это второй вариант с верху: \( 8\sqrt{2} \).