решите
Давайте решим уравнение:
\[ \left( \frac{3a - 5}{a^2 - 2a - 3} \right) + \left( \frac{2}{a + 1} \right) = \left( \frac{1}{a - 3} \right) \]
Преобразуем знаменатели:
- Разложим знаменатель \(a^2 - 2a - 3\) на множители: \[ a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1) \]
Теперь у нас есть общее понимание знаменателей.
Приведём дроби к общему знаменателю:
Общий знаменатель будет \( (a-3)(a+1) \).
Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:
Первая дробь уже имеет нужный знаменатель: \[ \frac{3a - 5}{(a-3)(a+1)} \]
Вторая дробь: \[ \frac{2}{a+1} = \frac{2(a-3)}{(a-3)(a+1)} \]
Третья дробь: \[ \frac{1}{a-3} = \frac{1(a+1)}{(a-3)(a+1)} \]
Суммируем и уравниваем дроби:
Подставим в исходное уравнение: \[ \frac{3a - 5 + 2(a-3)}{(a-3)(a+1)} = \frac{a+1}{(a-3)(a+1)} \]
- Упростим числитель слева: \[ 3a - 5 + 2a - 6 = 5a - 11 \]
Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{5a - 11}{(a-3)(a+1)} = \frac{a + 1}{(a-3)(a+1)} \]
Решение уравнения:
Поскольку знаменатели одинаковы, приравниваем числители: \[ 5a - 11 = a + 1 \]
Выразим \(a\): \[ 5a - a = 1 + 11 \]
\[ 4a = 12 \]
\[ a = 3 \]
Однако нужно проверить, что \(a = 3\) не приведет к нулю в знаменателе.
- Если подставляем \(a = 3\) в знаменатели \((a-3)(a+1)\), то знаменатель обращается в ноль.
Следовательно, \(a = 3\) — это посторонний корень.
Таким образом, у данного уравнения нет допустимых решений.
