Решите

Давайте решим уравнение: \[ \left( \frac{3a - 5}{a^2 - 2a - 3} \right) + \left( \frac{2}{a + 1} \right) = \left( \frac{1}{a - 3} \right) \] 1. **Преобразуем знаменатели:** - Разложим знаменатель \(a^2 - 2a - 3\) на множители: \[ a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1) \] Теперь у нас есть общее понимание знаменателей. 2. **Приведём дроби к общему знаменателю:** Общий знаменатель будет \( (a-3)(a+1) \). 3. **Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:** - Первая дробь уже имеет нужный знаменатель: \[ \frac{3a - 5}{(a-3)(a+1)} \] - Вторая дробь: \[ \frac{2}{a+1} = \frac{2(a-3)}{(a-3)(a+1)} \] - Третья дробь: \[ \frac{1}{a-3} = \frac{1(a+1)}{(a-3)(a+1)} \] 4. **Суммируем и уравниваем дроби:** Подставим в исходное уравнение: \[ \frac{3a - 5 + 2(a-3)}{(a-3)(a+1)} = \frac{a+1}{(a-3)(a+1)} \] - Упростим числитель слева: \[ 3a - 5 + 2a - 6 = 5a - 11 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{5a - 11}{(a-3)(a+1)} = \frac{a + 1}{(a-3)(a+1)} \] 5. **Решение уравнения:** Поскольку знаменатели одинаковы, приравниваем числители: \[ 5a - 11 = a + 1 \] Выразим \(a\): \[ 5a - a = 1 + 11 \] \[ 4a = 12 \] \[ a = 3 \] Однако нужно проверить, что \(a = 3\) не приведет к нулю в знаменателе. - Если подставляем \(a = 3\) в знаменатели \((a-3)(a+1)\), то знаменатель обращается в ноль. Следовательно, \(a = 3\) — это посторонний корень. Таким образом, у данного уравнения нет допустимых решений.