Найди sin 2 α 2 , sin 2 2 α , если известно, что угол α α принадлежит интервалу ( 3 π 2 ; 2 π ) , ( 2 3π ;2π), а sin α = − 2 2 3 . sinα=− 3 2 2 .
Для решения задачи нужно найти значение \(\sin(2\alpha)\) зная, что \(\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и угол \(\alpha\) находится в интервале \(\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\).
Шаг 1: Найдем \(\cos(\alpha)\)
Сначала нам нужно найти значение \(\cos(\alpha)\). Так как \(\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением:
\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]
Подставим значение \(\sin(\alpha)\):
\[ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]
\[ \frac{3}{4} + \cos^2(\alpha) = 1 \]
Теперь вычтем \(\frac{3}{4}\) из обеих сторон уравнения:
\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]
Теперь найдём \(\cos(\alpha)\):
\[ \cos(\alpha) = \pm \frac{1}{2} \]
Но для угла \(\alpha\) в интервале \(\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)\) \(\cos(\alpha)\) будет положительным, поскольку в этом интервале косинус положителен. Таким образом, мы имеем:
\[ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Найдём \(\sin(2\alpha)\)
Теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:
\[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]
Подставим известные значения:
\[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \]
Упростим это выражение:
\[ \sin(2\alpha) = 2 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Итак, окончательный ответ:
\[ \sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Заключение:
Таким образом, мы нашли значение \(\sin(2\alpha)\). Используя известное значение \(\sin(\alpha)\) и применяя тригонометрические формулы, мы подошли к искомому результату.
