Для решения задачи нужно найти значение (\sin(2\alpha)) зная, что (\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) и угол (\alpha) находится в интервале (\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)).
Шаг 1: Найдем (\cos(\alpha))
Сначала нам нужно найти значение (\cos(\alpha)). Так как (\sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}), мы можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением:
[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
]
Подставим значение (\sin(\alpha)):
[
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1
]
[
\frac{3}{4} + \cos^2(\alpha) = 1
]
Теперь вычтем (\frac{3}{4}) из обеих сторон уравнения:
[
\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
]
Теперь найдём (\cos(\alpha)):
[
\cos(\alpha) = \pm \frac{1}{2}
]
Но для угла (\alpha) в интервале (\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)) (\cos(\alpha)) будет положительным, поскольку в этом интервале косинус положителен. Таким образом, мы имеем:
[
\cos(\alpha) = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Найдём (\sin(2\alpha))
Теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:
[
\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
]
Подставим известные значения:
[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)
]
Упростим это выражение:
[
\sin(2\alpha) = 2 \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
]
Итак, окончательный ответ:
[
\sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
]
Заключение:
Таким образом, мы нашли значение (\sin(2\alpha)). Используя известное значение (\sin(\alpha)) и применяя тригонометрические формулы, мы подошли к искомому результату.
