Прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике, обозначим его вершины как \( A \), \( B \) и \( C \), где \( \angle C = 90^\circ \). Пусть \( AB = c \), \( AC = b \) и \( BC = a \) - это стороны треугольника, противоположные вершинам \( C \), \( A \) и \( B \) соответственно. Медианы из острых углов \( A \) и \( B \) равны 4 и 5 (пусть медиана из \( A \) равна 4, а медиана из \( B \) равна 5). Длины медиан в прямоугольном треугольнике выражаются через стороны следующим образом: \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] \[ m_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] Здесь \( m_a \) - медиана из вершины \( A \), а \( m_b \) - медиана из вершины \( B \). Так как мы знаем длины медиан: 1) Для медианы \( m_a = 4 \): \[ 4 = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ 8 = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] Квадратируем обе стороны: \[ 64 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 \quad (1) \] 2) Для медианы \( m_b = 5 \): \[ 5 = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ 10 = \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \] Квадратируем обе стороны: \[ 100 = 2a^2 + 2c^2 - b^2 \quad (2) \] Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, где \( c^2 = a^2 + b^2 \). Подставим \( c^2 \) в (1) и (2). Из уравнения (1): \[ 64 = 2b^2 + 2(a^2 + b^2) - a^2 \Rightarrow 64 = 2b^2 + 2a^2 + 2b^2 - a^2 \] \[ 64 = 4b^2 + a^2 \quad (3) \] Из уравнения (2): \[ 100 = 2a^2 + 2(a^2 + b^2) - b^2 \Rightarrow 100 = 2a^2 + 2a^2 + 2b^2 - b^2 \] \[ 100 = 4a^2 + b^2 \quad (4) \] Теперь у нас есть система из двух уравнений (3) и (4): 1) \( 4b^2 + a^2 = 64 \) 2) \( 4a^2 + b^2 = 100 \) Решая эту систему, выразим \( a^2 \) из (3): \[ a^2 = 64 - 4b^2 \quad (5) \] Подставим (5) в (4): \[ 4(64 - 4b^2) + b^2 = 100 \] \[ 256 - 16b^2 + b^2 = 100 \] \[ 256 - 100 = 16b^2 - b^2 \] \[ 156 = 15b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{156}{15} = \frac{52}{5} \] Теперь подставим значение \( b^2 \) обратно в (5): \[ a^2 = 64 - 4 \cdot \frac{52}{5} = 64 - \frac{208}{5} = \frac{320 - 208}{5} = \frac{112}{5} \] Теперь можем найти \( c^2 \): \[ c^2 = a^2 + b^2 = \frac{112}{5} + \frac{52}{5} = \frac{164}{5} \] Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \sqrt{a^2} \sqrt{b^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{112}{5}} \sqrt{\frac{52}{5}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5824}}{5} = \frac{76}{5} \] Таким образом, площадь треугольника равна: \[ S = \frac{76}{5} \approx 15.2 \]