найдите первый член геометрической прогрессии b1,b2,3,-9,....
Давайте решим задачу о нахождении первого члена геометрической прогрессии, заданной последовательностью \( b_1, b_2, b_3, -9, ... \).
Шаг 1: Понимание геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на одно и то же число, называемое Common Ratio (обозначается обычно \( r \)).
Формально:
- \( b_1 \) — первый член,
- \( b_2 = b_1 \cdot r \),
- \( b_3 = b_2 \cdot r = b_1 \cdot r^2 \),
- \( b_4 = b_3 \cdot r = b_1 \cdot r^3 \).
В данной последовательности у нас есть условие, что \( b_4 = -9 \).
Шаг 2: Установление зависимости
Мы можем записать связь между членами прогрессии:
- \( b_3 = b_1 \cdot r^2 \),
- \( b_4 = b_1 \cdot r^3 = -9 \).
Шаг 3: Определяем \( b_3 \) и \( b_4 \)
Поскольку мы знаем, что \( b_3 = 3 \), можем записать: \[ 3 = b_1 \cdot r^2. \]
Мы также знаем, что: \[ -9 = b_1 \cdot r^3. \]
Шаг 4: Составление системы уравнений
Теперь у нас есть две степени:
- \( 3 = b_1 \cdot r^2 \) (1)
- \( -9 = b_1 \cdot r^3 \) (2)
Шаг 5: Выразим \( b_1 \)
Из уравнения (1) выразим \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{3}{r^2}. \]
Подставим это значение в уравнение (2): \[ -9 = \left(\frac{3}{r^2}\right) \cdot r^3. \]
Шаг 6: Упрощение
Упрощаем это уравнение: \[ -9 = \frac{3r^3}{r^2} = 3r. \]
Теперь разделим обе стороны на 3: \[ -3 = r. \]
Шаг 7: Нахождение \( b_1 \)
Теперь, зная \( r = -3 \), подставим это значение обратно в уравнение для \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{3}{(-3)^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]
Шаг 8: Ответ
Таким образом, первый член геометрической прогрессии: \[ b_1 = \frac{1}{3}. \]
Эти шаги показывают, как мы пришли к ответу, используя свойства геометрической прогрессии и систему уравнений.
