Решим задачу шаг за шагом. У нас есть выражение:
[
(4+\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{4}
]
Шаг 1: Упростим каждое слагаемое
Первое слагаемое: ((4+\sqrt{3})^2)
Для квадратного выражения ( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ):
- ( a = 4 )
- ( b = \sqrt{3} )
Теперь подставим:
[
(4+\sqrt{3})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2
]
Выразим значения:
- ( 4^2 = 16 )
- ( 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} )
- ( (\sqrt{3})^2 = 3 )
Итак, получаем:
[
(4+\sqrt{3})^2 = 16 + 8\sqrt{3} + 3 = 19 + 8\sqrt{3}
]
Второе слагаемое: ((2-\sqrt{3})^2)
Для квадратного выражения ( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ):
- ( a = 2 )
- ( b = \sqrt{3} )
Подставим:
[
(2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2
]
Выразим значения:
- ( 2^2 = 4 )
- ( -2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = -4\sqrt{3} )
- ( (\sqrt{3})^2 = 3 )
Получаем:
[
(2-\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}
]
Третье слагаемое: (4\sqrt{4})
( \sqrt{4} = 2 ), значит:
[
4\sqrt{4} = 4 \cdot 2 = 8
]
Шаг 2: Теперь объединим все слагаемые
Соберём всё вместе:
[
(19 + 8\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) - 8
]
Упрощаем по частям:
Сложим константы: (19 + 7 - 8)
[
19 + 7 - 8 = 18
]
Сложим коренные части: (8\sqrt{3} - 4\sqrt{3})
[
8\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
]
Шаг 3: Итоговое выражение
Теперь комбинируем результаты:
[
18 + 4\sqrt{3}
]
Таким образом, окончательный ответ:
[
\boxed{18 + 4\sqrt{3}}
]
