1) integrate 12sinxdx 2) integrate - 3cos x dx 3) integrate 5/(6sqrt(x)) dx 4) integrate - 10/(x ^ 2) dx 5) integrate (x+cosx)dx 6) integrate (3/(4sqrt(x)) + x ^ 3) dx 7)…

Давайте разберем каждую из предложенных интегралов по порядку, предоставляя подробные объяснения и шаги для их решения.

1) \(\int 12 \sin x \, dx\)

Чтобы интегрировать \(12 \sin x\), воспользуемся формулой интегрирования синуса: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Где \(C\) — произвольная константа интегрирования. Таким образом: \[ \int 12 \sin x \, dx = 12 \cdot \left(-\cos x\right) + C = -12 \cos x + C \]

2) \(\int -3 \cos x \, dx\)

Используем формулу для интегрирования косинуса: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Тогда: \[ \int -3 \cos x \, dx = -3 \int \cos x \, dx = -3 \sin x + C \]

3) \(\int \frac{5}{6\sqrt{x}} \, dx\)

Мы знаем, что: \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \] Таким образом, интеграл можно записать так: \[ \int \frac{5}{6\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{5}{6} x^{-1/2} \, dx \] Теперь применим формулу интегрирования: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 \] Здесь \(n = -\frac{1}{2}\): \[ \int \frac{5}{6} x^{-1/2} \, dx = \frac{5}{6} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{5}{6} \cdot 2x^{1/2} + C = \frac{5}{3} \sqrt{x} + C \]

4) \(\int -\frac{10}{x^2} \, dx\)

Заменим \(-\frac{10}{x^2}\) на \(-10x^{-2}\) и интегрируем: \[ \int -10x^{-2} \, dx = -10 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = 10x^{-1} + C = \frac{10}{x} + C \]

5) \(\int (x + \cos x) \, dx\)

Разделим интеграл на два: \[ \int (x + \cos x) \, dx = \int x \, dx + \int \cos x \, dx \] Первая часть: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] Вторая часть: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_2 \] Объединяя результаты: \[ \int (x + \cos x) \, dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C \]

6) \(\int \left(\frac{3}{4\sqrt{x}} + x^3\right) \, dx\)

Сначала разделим интеграл: \[ \int \frac{3}{4\sqrt{x}} \, dx + \int x^3 \, dx \] Первый интеграл: \[ \int \frac{3}{4\sqrt{x}} \, dx = \frac{3}{4} \cdot \int x^{-1/2} \, dx = \frac{3}{4} \cdot 2x^{1/2} + C_1 = \frac{3}{2} \sqrt{x} + C_1 \] Второй интеграл: \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_2 \] Объединяем: \[ \int \left(\frac{3}{4\sqrt{x}} + x^3\right) \, dx = \frac{3}{2} \sqrt{x} + \frac{x^4}{4} + C \]

7) \(\int \left(\frac{11}{x^2} - \frac{1}{\cos^2 x}\right) \, dx\)

Разделим интеграл: \[ \int \frac{11}{x^2} \, dx - \int \sec^2 x \, dx \] Первый интеграл: \[ \int \frac{11}{x^2} \, dx = 11 \cdot \frac{1}{x} + C_1 = \frac{11}{x} + C_1 \] Второй интеграл: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C_2 \] Объединяем: \[ \int \left(\frac{11}{x^2} - \frac{1}{\cos^2 x}\right) \, dx = \frac{11}{x} - \tan x + C \]

8) \(\int (x^4 + \sin x - \frac{21}{11x} \cdot \frac{2}{x^2}) \, dx\)

Упростим сначала: \[ -\frac{21}{11x} \cdot \frac{2}{x^2} = -\frac{42}{11x^3} \] Итак, получаем: \[ \int (x^4 + \sin x - \frac{42}{11x^3}) \, dx \] Разделим: \[ \int x^4 \, dx + \int \sin x \, dx - \int \frac{42}{11x^3} \, dx \] Первые два: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C_1 \] \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \] Третий: \[ \int \frac{42}{11x^3} \, dx = \frac{42}{11} \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C_3 = -\frac{21}{11 x^2} + C_3 \] Собираем: \[ \int (x^4 + \sin x - \frac{42}{11x^3}) \, dx = \frac{x^5}{5} - \cos x + \frac{21}{11x^2} + C \]

9) \(\int \left(\frac{5}{3\sqrt{x}} - gx\right) \, dx\)

Разделим интеграл: \[ \int \frac{5}{3\sqrt{x}} \, dx - \int gx \, dx \] Первый: \[ \int \frac{5}{3\sqrt{x}} \, dx = \frac{5}{3} \cdot \left(2 \sqrt{x}\right) + C_1 = \frac{10}{3} \sqrt{x} + C_1 \] Второй: \[ \int gx \, dx = \frac{g}{2} x^2 + C_2 \] Итак: \[ \int \left(\frac{5}{3\sqrt{x}} - gx\right) \, dx = \frac{10}{3} \sqrt{x} - \frac{g}{2} x^2 + C \]

10) \(\int \left(7 + x^5 - \frac{3}{\cos^2 x}\right) \, dx\)

Разделим интеграл на части: \[ \int 7 \, dx + \int x^5 \, dx - \int 3 \sec^2 x \, dx \] Первый: \[ \int 7 \, dx = 7x + C_1 \] Второй: \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C_2 \] Третий: \[ \int 3 \sec^2 x \, dx = 3 \tan x + C_3 \] Собираем: \[ \int \left(7 + x^5 - \frac{3}{\cos^2 x}\right) \, dx = 7x + \frac{x^6}{6} - 3 \tan x + C \]

Мы разобрали все интегралы пошагово. Если остались вопросы или потребуются дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!