Пусть первый дизайнер выполняет работу за ( x ) часов, а второй дизайнер - за ( y ) часов. Тогда их производительности будут равны:
[
\text{Производительность первого дизайнера} = \frac{1}{x} \quad \text{(часть работы за час)}
]
[
\text{Производительность второго дизайнера} = \frac{1}{y}
]
Работа была выполнена совместно за 60 часов, поэтому можно записать уравнение:
[
60 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1
]
Это уравнение говорит о том, что за 60 часов они выполнили одну полную работу.
Если бы первый дизайнер выполнил половину работы, а затем второй дизайнер завершил оставшуюся половину, то можно выразить время выполнения этой работы следующим образом:
Первый дизайнер делает половину работы:
[
\text{Время первого дизайнера} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}
]
Второй дизайнер делает оставшуюся половину работы:
[
\text{Время второго дизайнера} = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}
]
Общее время работы в этом случае равно:
[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 169
]
Умножив обе части уравнения на 2, получаем:
[
x + y = 338
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( 60 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 ) \
- ( x + y = 338 )
Первое уравнение можно переписать:
[
\frac{60(y + x)}{xy} = 1 \implies 60(338) = xy
]
[
xy = 20280
]
Теперь у нас есть система:
- ( x + y = 338 ) \
- ( xy = 20280 )
Мы можем выразить ( y ) через ( x ):
[
y = 338 - x
]
Подставим ( y ) во второе уравнение:
[
x(338 - x) = 20280
]
Раскроем скобки:
[
338x - x^2 = 20280
]
Приведём уравнение к стандартному виду:
[
x^2 - 338x + 20280 = 0
]
Теперь решим его с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 338^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20280
]
[
D = 114244 - 81120 = 33124
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{338 \pm \sqrt{33124}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{33124} ):
[
\sqrt{33124} \approx 182
]
Теперь подставим обратно:
[
x_1 = \frac{338 + 182}{2} = \frac{520}{2} = 260
]
[
x_2 = \frac{338 - 182}{2} = \frac{156}{2} = 78
]
Таким образом, один дизайнер может оформить учебник за 260 часов, а другой - за 78 часов.
Ответ: Первый дизайнер может оформить учебник за 260 часов, второй - за 78 часов.
