К бассейну проведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 2   2 ч больше, чем на наполнение бассейна. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 24   24 ч. За какое время можно наполнить пустой бассейн через первую трубу при закрытой второй?

Обозначим: - \( t \) — время, за которое первая труба наполняет бассейн, - \( t + 2 \) — время, за которое вторая труба сливает воду. Скорость заполнения первой трубы будет равна \( \frac{1}{t} \) (бассейн в единицах объема) в час, а скорость слива второй трубы равна \( \frac{1}{t + 2} \). Когда обе трубы открыты, их совместная работа даёт: \[ \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 2} = \frac{1}{24} \] Теперь найдём общий знаменатель для левой части уравнения: \[ \frac{(t + 2) - t}{t(t + 2)} = \frac{2}{t(t + 2)} \] Таким образом, уравнение можно записать как: \[ \frac{2}{t(t + 2)} = \frac{1}{24} \] Перепишем его в виде: \[ 2 \cdot 24 = t(t + 2) \] Отсюда: \[ 48 = t^2 + 2t \] Приведём уравнение к стандартному виду: \[ t^2 + 2t - 48 = 0 \] Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \] Находим корни уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{2} \] Получаем два значения: 1. \( t = \frac{12}{2} = 6 \) 2. \( t = \frac{-16}{2} = -8 \) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте) Таким образом, время, за которое можно наполнить пустой бассейн через первую трубу при закрытой второй, составляет 6 часов.