Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам нужно использовать формулу:
[
S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h
]
где:
- ( S ) — площадь трапеции,
- ( a ) и ( b ) — длины оснований (в нашем случае ( a = 25 ) и ( b = 13 )),
- ( h ) — высота трапеции.
В данном случае нам известны основания, но не известна высота ( h ). Однако мы знаем, что одна из боковых сторон равна 15. Это позволяет нам решить задачу, используя свойства прямоугольной трапеции.
Так как одна из боковых сторон является высотой при основании, то трапеция с основанием 25 и боковой стороной 15 формирует прямоугольный треугольник с основанием:
[
x = a - b = 25 - 13 = 12
]
Где ( x ) — это горизонтальная линия между двумя основаниями (разность оснований). Так как у нас есть большой прямоугольный треугольник с одним катетом ( x ) и гипотенузой равной 15.
Мы сможем найти высоту ( h ) с помощью теоремы Пифагора:
[
h^2 + x^2 = 15^2
]
Подставим значения:
[
h^2 + 12^2 = 15^2
]
Это упрощается до:
[
h^2 + 144 = 225
]
Теперь вычтем 144:
[
h^2 = 225 - 144
]
[
h^2 = 81
]
Следовательно,
[
h = \sqrt{81} = 9
]
Теперь, когда мы нашли высоту, можем подставить её в формулу для расчета площади:
[
S = \frac{(25 + 13)}{2} \cdot 9
]
Посчитаем сумму оснований:
[
25 + 13 = 38
]
Теперь подставим:
[
S = \frac{38}{2} \cdot 9 = 19 \cdot 9 = 171
]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна:
[
\boxed{171}
]
