Построить график логарифмической функции y=log1/3(x+3)

Для построения графика логарифмической функции \( y = \log_{\frac{1}{3}}(x+3) \) давайте разберемся с несколькими ключевыми моментами. ### Шаг 1: Определим область определения Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента. Поэтому, необходимо, чтобы \( x + 3 > 0 \), что дает нам: \[ x > -3 \] Таким образом, область определения функции — это интервал \( (-3, +\infty) \). ### Шаг 2: Находим точки пересечения с осями #### Пересечение с осью Y: Для нахождения точки пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = \log_{\frac{1}{3}}(0 + 3) = \log_{\frac{1}{3}}(3) \] Чтобы это вычислить, воспользуемся свойством логарифмов: \[ \log_{\frac{1}{3}}(3) = \frac{1}{\log_{3}(\frac{1}{3})} = \frac{1}{-1} = -1 \] Таким образом, точка пересечения с осью Y находится в \( (0, -1) \). #### Пересечение с осью X: Чтобы найти точку пересечения с осью X, приравняем \( y \) к нулю: \[ \log_{\frac{1}{3}}(x + 3) = 0 \] Это указывает на следующее равенство: \[ x + 3 = \left(\frac{1}{3}\right)^0 \implies x + 3 = 1 \] Отсюда: \[ x = 1 - 3 = -2 \] Таким образом, точка пересечения с осью X находится в \( (-2, 0) \). ### Шаг 3: Исследуем поведение функции 1. **При \( x \) стремящемся к -3:** \( y \) будет стремиться к \( -\infty \) (логарифм малых положительных чисел становится очень отрицательным). 2. **При \( x \) стремящемся к +\infty:** \( y \) будет стремиться к \( +\infty \) (логарифм больших положительных чисел становится большим). ### Шаг 4: Интервал возрастания и убывания Функция \( y = \log_{\frac{1}{3}}(x+3) \) убывает, так как основание логарифма меньше 1. Это значит, что чем больше \( x \), тем меньше \( y \). ### Шаг 5: Построим график Теперь, имея все необходимые точки и свойства функции, мы можем построить график: 1. Начинаем график слева от \( x = -3 \) и продолжаем вправо. 2. График начинает с \( y \to -\infty \) при \( x \to -3 \). 3. Проходит через точку (-2, 0). 4. Имеет точку (-1, -1) при \( x = 0 \). 5. График убывает и стремится к \( +\infty \) при \( x \to +\infty \). ### Итог График функции \( y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 3) \) будет убывающим с асимптотой \( x = -3 \) и пересечениями с осями в точках (-2, 0) и (0, -1). Эти шаги помогут вам понять, как строить графики логарифмических функций. Если есть необходимость в дополнительных пояснениях или примерах, пожалуйста, дайте знать!