Первая чайная смесь состоит из листьев чёрного чая и фруктовых добавок в соотношении 5 : 4 5:4 , а вторая содержит те же ингредиенты в соотношении 7 : 3 7:3 . В каком соотношении нужно взять первую и вторую чайные смеси, чтобы получить третью, содержащую листья чёрного чая и фруктовые добавки в соотношении 2 : 1 2:1 ?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод пропорций и уравнений. Давайте разберем её пошагово. 1. **Обозначим смеси:** - Первая смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 5:4. Обозначим количество первой смеси как \(x\). - Вторая смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 7:3. Обозначим количество второй смеси как \(y\). - Третья смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 2:1. 2. **Выразим компоненты составов:** - В первой смеси из \(x\) мы имеем: - Чай: \(\frac{5}{9}x\) (поскольку \(5 + 4 = 9\)) - Фрукты: \(\frac{4}{9}x\) - Во второй смеси из \(y\) мы имеем: - Чай: \(\frac{7}{10}y\) (поскольку \(7 + 3 = 10\)) - Фрукты: \(\frac{3}{10}y\) 3. **Составим уравнение для третьей смеси:** - В третьей смеси, задать соотношение 2:1, означает, что на каждые 2 части чая должны приходиться 1 часть фруктов. Из общего количества смеси (которое будет равно сумме \(x + y\)) мы можем выразить чай и фрукты: - Общий чай: \(\frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y\) - Общие фрукты: \(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\) Для соотношения 2:1 установим равенство: \[ \frac{\frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y}{\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y} = 2 \] 4. **Упростим и решим уравнение:** Умножим обе стороны на \(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\), чтобы избавиться от дроби: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = 2\left(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\right) \] Раскроем скобки: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{8}{9}x + \frac{6}{10}y \] Приведем дроби к общему знаменателю (90): - Для первой части: \[ \frac{5}{9}x = \frac{50}{90}x \quad \text{и} \quad \frac{7}{10}y = \frac{63}{90}y \] - Для второй части: \[ \frac{8}{9}x = \frac{80}{90}x \quad \text{и} \quad \frac{6}{10}y = \frac{54}{90}y \] Итак, мы получили следующее уравнение: \[ \frac{50}{90}x + \frac{63}{90}y = \frac{80}{90}x + \frac{54}{90}y \] Умножим на 90, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 50x + 63y = 80x + 54y \] Переносим все \(x\) в одну сторону и все \(y\) в другую: \[ 63y - 54y = 80x - 50x \] \[ 9y = 30x \] 5. **Нам известно соотношение:** Искусим, чтобы выразить \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{30}{9}x = \frac{10}{3}x \] Таким образом, \(x : y = 3 : 10\). 6. **Ответ:** Таким образом, чтобы получить третью смесь с соотношением черного чая и фруктовых добавок 2:1, необходимо смешать первую и вторую чайные смеси в соотношении \(3:10\).