Первая чайная смесь состоит из листьев чёрного чая и фруктовых добавок в соотношении 5 : 4 5:4 , а вторая содержит те же ингредиенты в соотношении 7 : 3 7:3 . В каком соотношении…

Для решения этой задачи мы будем использовать метод пропорций и уравнений. Давайте разберем её пошагово.

1. Обозначим смеси:

   • Первая смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 5:4. Обозначим количество первой смеси как \(x\).
   • Вторая смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 7:3. Обозначим количество второй смеси как \(y\).
   • Третья смесь: черный чай и фруктовые добавки в соотношении 2:1.

2. Выразим компоненты составов:

   • В первой смеси из \(x\) мы имеем:

     • Чай: \(\frac{5}{9}x\) (поскольку \(5 + 4 = 9\))
     • Фрукты: \(\frac{4}{9}x\)

   • Во второй смеси из \(y\) мы имеем:

     • Чай: \(\frac{7}{10}y\) (поскольку \(7 + 3 = 10\))
     • Фрукты: \(\frac{3}{10}y\)

3. Составим уравнение для третьей смеси:

   • В третьей смеси, задать соотношение 2:1, означает, что на каждые 2 части чая должны приходиться 1 часть фруктов. Из общего количества смеси (которое будет равно сумме \(x + y\)) мы можем выразить чай и фрукты:
     • Общий чай: \(\frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y\)
     • Общие фрукты: \(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\)

   Для соотношения 2:1 установим равенство: \[ \frac{\frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y}{\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y} = 2 \]

4. Упростим и решим уравнение: Умножим обе стороны на \(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\), чтобы избавиться от дроби: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = 2\left(\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y\right) \]

   Раскроем скобки: \[ \frac{5}{9}x + \frac{7}{10}y = \frac{8}{9}x + \frac{6}{10}y \]

   Приведем дроби к общему знаменателю (90):

   • Для первой части: \[ \frac{5}{9}x = \frac{50}{90}x \quad \text{и} \quad \frac{7}{10}y = \frac{63}{90}y \]
   • Для второй части: \[ \frac{8}{9}x = \frac{80}{90}x \quad \text{и} \quad \frac{6}{10}y = \frac{54}{90}y \]

   Итак, мы получили следующее уравнение: \[ \frac{50}{90}x + \frac{63}{90}y = \frac{80}{90}x + \frac{54}{90}y \]

   Умножим на 90, чтобы избавиться от знаменателей: \[ 50x + 63y = 80x + 54y \]

   Переносим все \(x\) в одну сторону и все \(y\) в другую: \[ 63y - 54y = 80x - 50x \] \[ 9y = 30x \]

5. Нам известно соотношение: Искусим, чтобы выразить \(y\) через \(x\): \[ y = \frac{30}{9}x = \frac{10}{3}x \]

   Таким образом, \(x : y = 3 : 10\).

6. Ответ: Таким образом, чтобы получить третью смесь с соотношением черного чая и фруктовых добавок 2:1, необходимо смешать первую и вторую чайные смеси в соотношении \(3:10\).