Для участия в олимпиаде выбирают 5 учеников из 11 учащихся в 11 "А". Сколькими способами можно собрать команду для участия в олимпиаде?

Чтобы решить задачу, нужно использовать формулу для нахождения числа сочетаний. Формула для вычисления сочетаний выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) – общее количество элементов (в данном случае, 11 учеников),
• \( k \) – количество выбранных элементов (в данном случае, 5 учеников),
• \( ! \) – факториал числа, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

В нашем случае:

• \( n = 11 \)
• \( k = 5 \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} \]

Теперь давайте вычислим факториалы:

• \( 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (заметим, что \( 6! \) можно сократить)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
• \( 6! = 720 \) (но мы его сократим)

Теперь подставляем и упрощаем:

\[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5!} \]

Теперь делим на \( 5! \):

\[ C(11, 5) = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{120} \]

Выполним умножение в числителе:

\( 11 \times 10 = 110 \)

\( 110 \times 9 = 990 \)

\( 990 \times 8 = 7920 \)

\( 7920 \times 7 = 55440 \)

Теперь делим \( 55440 \) на \( 120 \):

\[ C(11, 5) = \frac{55440}{120} = 462 \]

Таким образом, команда из 5 учеников может быть собрана 462 различными способами.