Дан ряд чисел 5,8,9,7,9,12,15,11,10,13, который отображает значения случайной величины. Найдите дисперсию значений. Ответ округлите до десятых.
Чтобы найти дисперсию значений заданного ряда чисел, давайте пройдём через все шаги вместе.
Шаг 1: Найдите среднее значение (математическое ожидание)
Среднее значение (или математическое ожидание) вычисляется по формуле:
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \]
где \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) — это данные, а \( n \) — количество данных.
Данные:
5, 8, 9, 7, 9, 12, 15, 11, 10, 13
Считаем сумму этих чисел:
\[ 5 + 8 + 9 + 7 + 9 + 12 + 15 + 11 + 10 + 13 = 89 \]
Находим количество значений:
В данном случае \( n = 10 \) (всего 10 чисел).
Среднее значение:
\[ \bar{x} = \frac{89}{10} = 8.9 \]
Шаг 2: Найдите квадрат отклонений от среднего
Теперь мы должны найти квадрат каждого отклонения от среднего значения:
\[ (x_i - \bar{x})^2 \]
Где \( x_i \) — каждое значение из нашего ряда.
Вот отклонения и их квадраты:
Для 5: \[ (5 - 8.9)^2 = (-3.9)^2 = 15.21 \]
Для 8: \[ (8 - 8.9)^2 = (-0.9)^2 = 0.81 \]
Для 9: \[ (9 - 8.9)^2 = (0.1)^2 = 0.01 \]
Для 7: \[ (7 - 8.9)^2 = (-1.9)^2 = 3.61 \]
Для 9: \[ (9 - 8.9)^2 = (0.1)^2 = 0.01 \]
Для 12: \[ (12 - 8.9)^2 = (3.1)^2 = 9.61 \]
Для 15: \[ (15 - 8.9)^2 = (6.1)^2 = 37.21 \]
Для 11: \[ (11 - 8.9)^2 = (2.1)^2 = 4.41 \]
Для 10: \[ (10 - 8.9)^2 = (1.1)^2 = 1.21 \]
Для 13: \[ (13 - 8.9)^2 = (4.1)^2 = 16.81 \]
Шаг 3: Найдите сумму квадратов отклонений
Теперь мы должны сложить все найденные квадраты отклонений:
\[ 15.21 + 0.81 + 0.01 + 3.61 + 0.01 + 9.61 + 37.21 + 4.41 + 1.21 + 16.81 = 89.9 \]
Шаг 4: Найдите дисперсию
Теперь мы можем найти дисперсию, используя формулу:
\[ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \]
В нашем случае:
\[ D = \frac{89.9}{10} = 8.99 \]
Ответ
Округляем до десятых:
\[ D \approx 9.0 \]
Таким образом, дисперсия значений данного ряда чисел составляет 9.0.
