Контрольная работа «Объемы пространственных тел», вариант 4 1. Основание прямой призмы - квадрат с диагональю 6√2. Найдите объем призмы и площадь поверхности, если высота призмы —…

Решим каждую из задач по отдельности.

Задача 1: Объем и площадь поверхности прямой призмы

Дано:

• Диагональ основания (квадрат) \(d = 6\sqrt{2}\) см
• Высота призмы \(h = 10\) см

Решение:

1. Найдём сторону квадрата: Мы знаем, что для квадрата с стороной \(a\) диагональ вычисляется по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] Подставим значение: \[ 6\sqrt{2} = a\sqrt{2} \] Делим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \[ a = 6 \text{ см} \]

2. Найдём объем призмы: Объем \(V\) прямой призмы вычисляется по формуле: \[ V = S_b \cdot h \] где \(S_b\) - площадь основания.

   Площадь основания (квадрат): \[ S_b = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]

   Теперь найдем объем: \[ V = 36 \cdot 10 = 360 \text{ см}^3 \]

3. Найдём площадь поверхности: Площадь полной поверхности \(S\) призмы: \[ S = 2S_b + P \cdot h \] где \(P\) - периметр основания.

   Периметр квадрата: \[ P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см} \] Теперь подставим данные в формулу площади поверхности: \[ S = 2 \cdot 36 + 24 \cdot 10 = 72 + 240 = 312 \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Объем призмы \(V = 360 \text{ см}^3\)
• Площадь поверхности \(S = 312 \text{ см}^2\)

---

Задача 2: Объем и площадь полной поверхности конуса

Дано:

• Диаметр основания \(d = 12\) см
• Высота \(h = 8\) см

Решение:

1. Найдём радиус основания: \[ r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]

2. Найдём объем конуса: Объем \(V\) конуса вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставим значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288}{3} \pi = 96\pi \text{ см}^3 \]

3. Найдём площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности \(S\) конуса: \[ S = \pi r (r + s) \] где \(s\) - длина образующей, которая вычисляется по теореме Пифагора: \[ s = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \] Подставляем значения: \[ S = \pi \cdot 6 (6 + 10) = \pi \cdot 6 \cdot 16 = 96\pi \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Объем конуса \(V = 96\pi \text{ см}^3\)
• Площадь полной поверхности \(S = 96\pi \text{ см}^2\)

---

Задача 3: Объем цилиндра

Дано:

• Диагональ осевого сечения (квадрат) \(d = 9\sqrt{2}\) см

Решение:

1. Найдём сторону квадрата: \[ d = a\sqrt{2} \rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 9 \text{ см} \]

2. Найдём радиус основания цилиндра: Сторона квадрата является диаметром основания цилиндра, тогда: \[ r = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см} \]

3. Объем цилиндра: Объем \(V\) цилиндра: \[ V = \pi r^2 h \] Но мы не знаем высоту \(h\). Предположим, что в условии задачи имеется в виду, что \(h\) также равно стороне квадрата. Таким образом, принимаем \(h = 9\) см: \[ V = \pi (4.5^2) (9) = \pi \cdot 20.25 \cdot 9 = 182.25\pi \text{ см}^3 \]

Ответ:

• Объем цилиндра \(V = 182.25\pi \text{ см}^3\) (если высота 9 см, иначе уточните значение высоты).

---

Задача 4: Масса усеченной пирамиды

Дано:

• Высота \(h = 4.5\) м = 450 см
• Длина сторон оснований: \(a_1 = 4.5\) м = 450 см и \(a_2 = 5.5\) м = 550 см
• Удельная плотность гранита \(\rho = 2.5\) г/см³

Решение:

1. Найдём площади оснований: \[ S_1 = a_1^2 = 450^2 = 202500 \text{ см}^2 \] \[ S_2 = a_2^2 = 550^2 = 302500 \text{ см}^2 \]

2. Найдём объем усеченной пирамиды: Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: \[ V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \] Подставим значения: \[ V = \frac{450}{3}(202500 + 302500 + \sqrt{202500 \times 302500}) = 150(505000 + \sqrt{61312500000}) \] Находим \( \sqrt{61312500000} \approx 247624.32\), тогда: \[ V = 150(505000 + 247624.32) \approx 150 \times 752624.32 = 112893648 \text{ см}^3 \]

3. Найдем массу подставки: Масса \(m\): \[ m = V \cdot \rho = 112893648 \cdot 2.5 = 282234120 \text{ г} \]

Ответ:

• Масса подставки \(m \approx 282234120 \text{ г}\)

---

Задача 5: Масса свинцовой трубы

Дано:

• Внутренний диаметр \(d = 16\) мм
• Толщина стенок \(t = 4\) мм
• Длина трубы \(L = 25\) м = 2500 см
• Удельная плотность свинца \(\rho = 11.4\) г/см³

Решение:

1. Найдём внутренний и внешний радиусы: \[ r_{вн} = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ мм} = 0.8 \text{ см} \] \[ r_{вн} + t = 0.8 + 0.4 = 1.2 \text{ см} \rightarrow r_{вн} + t = d_{вн} \]

2. Найдём объем трубы: Объем \(V\) трубы: \[ V = L \cdot (\pi r_{вн}^2 - \pi r_{вн}^2) = \pi L (r_{вн}^2 - r_{вн}^2) \Rightarrow V = \pi \cdot 2500 (1.2^2 - 0.8^2) \] \[ = \pi \cdot 2500 (1.44 - 0.64) = \pi \cdot 2500 \cdot 0.8 \approx 6283.185307 \text{ см}^3 \]

3. Найдём массу трубы: Масса \(m\): \[ m = V \cdot \rho = 6283.185307 \cdot 11.4 \approx 71637.7857 \text{ г} \]

Ответ:

• Масса трубы \(m \approx 71637.79 \text{ г}\)

---

Если есть дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать!