integ(sinx+5/6x^2-1/x^6)dx

Чтобы найти неопределенный интеграл \(\int \left( \sin x + \frac{5}{6}x^2 - \frac{1}{x^6} \right) \, dx\), давайте разберем каждое из частей под интегралом отдельно.

1. Интегрирование функции \(\sin x\)

Интеграл от синуса известен: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] где \(C_1\) — произвольная константа интегрирования.

2. Интегрирование функции \(\frac{5}{6} x^2\)

Здесь мы используем стандартное правило интегрирования для степенной функции: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] В данном случае \(n = 2\), поэтому: \[ \int \frac{5}{6} x^2 \, dx = \frac{5}{6} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C_2 = \frac{5}{18} x^3 + C_2 \]

3. Интегрирование функции \(-\frac{1}{x^6}\)

Мы можем переписать вторую часть как \(-x^{-6}\). Тогда, используя также правило интегрирования для степенных функций: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] где \(n = -6\): \[ \int -\frac{1}{x^6} \, dx = -\int x^{-6} \, dx = -\left(\frac{x^{-5}}{-5}\right) = \frac{1}{5x^5} + C_3 \]

Объединение всех частей

Теперь, объединяя все части интеграла, мы получаем: \[ \int \left( \sin x + \frac{5}{6}x^2 - \frac{1}{x^6} \right) \, dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \] где \(C\) — это произвольная константа, которая является результатом объединения \(C_1\), \(C_2\), и \(C_3\).

Итоговое решение

Итак, окончательный результат для интеграла будет: \[ \int \left( \sin x + \frac{5}{6}x^2 - \frac{1}{x^6} \right) \, dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \]

Если будут дополнительные вопросы по данной теме, я с удовольствием помогу!