На изображении приведено задание по математике, в котором требуется построить график функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \).

Чтобы построить график функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \), давайте разберем эту функцию шаг за шагом.

Шаг 1: Определим тип функции

Функция \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \) является многочленом четвёртой степени, так как наивысшая степень переменной \( x \) равна 4. Многочлены четвёртой степени могут иметь различные виды графиков, но их поведение в общем случае напоминает параболы, только с более сложной формой.

Шаг 2: Найдем критические точки

Чтобы понять, как график выглядит, нужно найти точки минимума и максимума функции. Для этого мы найдем производную и решим уравнение \( y' = 0 \).

Находим производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 2) = 4x^3 - 4x \] Теперь вынесем общий множитель: \[ y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \] Теперь решим уравнение \( y' = 0 \): \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Это уравнение дает три критические точки: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]

Шаг 3: Определим прирост и убывание функции

Теперь мы можем определить, где функция возрастает, а где убывает, проанализировав знаки производной на интервалах, определенных критическими точками:

1. Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = 4(-2)(4 - 1) = -24 < 0 \quad \text{(убывает)} \]

2. Для \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \[ y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = 4(-0.5)(0.25 - 1) = 4(-0.5)(-0.75) = 1.5 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]

3. Для \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 4(0.5)(0.25 - 1) = 4(0.5)(-0.75) = -1.5 < 0 \quad \text{(убывает)} \]

4. Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y'(2) = 4(2)((2)^2 - 1) = 4(2)(4 - 1) = 24 > 0 \quad \text{(возрастает)} \]

Шаг 4: Оценка значений функции в критических точках

Теперь посчитаем значения функции в критических точках:

1. \( y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2 \)
2. \( y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 \)
3. \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 \)

Шаг 5: Построим график

Теперь мы можем собрать всю информацию:

• Минимум при \( x = 1 \) и \( y = 1 \).
• Минимум при \( x = -1 \) и тоже \( y = 1 \).
• Значение в \( x = 0 \): \( y = 2 \).

Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \), возрастает на \( (-1, 0] \), убывает на \( (0, 1) \) и возрастает на \( (1, +\infty) \).

Шаг 6: Рисуем график

Теперь, используя найденные точки и поведение функции, можно построить график. Он должен выглядеть следующим образом:

• Он будет иметь форму, похожую на "W", с двумя минимумами на уровнях \( y = 1 \) и однородным возрастанием на концах. Парабола будет ограничена нижней границей линии \( y = 1 \).

Теперь вы можете использовать эти данные для построения точного графика функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \).