На изображении приведено задание по математике, в котором требуется построить график функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \).

Чтобы построить график функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \), давайте разберем эту функцию шаг за шагом. ### Шаг 1: Определим тип функции Функция \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \) является многочленом четвёртой степени, так как наивысшая степень переменной \( x \) равна 4. Многочлены четвёртой степени могут иметь различные виды графиков, но их поведение в общем случае напоминает параболы, только с более сложной формой. ### Шаг 2: Найдем критические точки Чтобы понять, как график выглядит, нужно найти точки минимума и максимума функции. Для этого мы найдем производную и решим уравнение \( y' = 0 \). Находим производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 2) = 4x^3 - 4x \] Теперь вынесем общий множитель: \[ y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \] Теперь решим уравнение \( y' = 0 \): \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Это уравнение дает три критические точки: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] ### Шаг 3: Определим прирост и убывание функции Теперь мы можем определить, где функция возрастает, а где убывает, проанализировав знаки производной на интервалах, определенных критическими точками: 1. Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = 4(-2)(4 - 1) = -24 < 0 \quad \text{(убывает)} \] 2. Для \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \[ y'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = 4(-0.5)(0.25 - 1) = 4(-0.5)(-0.75) = 1.5 > 0 \quad \text{(возрастает)} \] 3. Для \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ y'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 4(0.5)(0.25 - 1) = 4(0.5)(-0.75) = -1.5 < 0 \quad \text{(убывает)} \] 4. Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ y'(2) = 4(2)((2)^2 - 1) = 4(2)(4 - 1) = 24 > 0 \quad \text{(возрастает)} \] ### Шаг 4: Оценка значений функции в критических точках Теперь посчитаем значения функции в критических точках: 1. \( y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2 \) 2. \( y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 \) 3. \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 \) ### Шаг 5: Построим график Теперь мы можем собрать всю информацию: - Минимум при \( x = 1 \) и \( y = 1 \). - Минимум при \( x = -1 \) и тоже \( y = 1 \). - Значение в \( x = 0 \): \( y = 2 \). Функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \), возрастает на \( (-1, 0] \), убывает на \( (0, 1) \) и возрастает на \( (1, +\infty) \). ### Шаг 6: Рисуем график Теперь, используя найденные точки и поведение функции, можно построить график. Он должен выглядеть следующим образом: - Он будет иметь форму, похожую на "W", с двумя минимумами на уровнях \( y = 1 \) и однородным возрастанием на концах. Парабола будет ограничена нижней границей линии \( y = 1 \). Теперь вы можете использовать эти данные для построения точного графика функции \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \).