вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями у=x²-2x+5,y=2x
Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x + 5 \) и \( y = 2x \), сначала нужно найти точки пересечения этих двух уравнений.
Шаг 1: Найдем точки пересечения
Приравняем обе функции:
\[ x^2 - 2x + 5 = 2x \]
Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - 4x + 5 = 0 \]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = 5 \):
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} \]
Расчитаем дискриминант:
\[ \sqrt{16 - 20} = \sqrt{-4} \]
Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что кривые не пересекаются в вещественных точках. Теперь нужно проанализировать, как они расположены относительно друг друга.
Шаг 2: Исследуем функции
Теперь оценим значения функций.
- Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 2x + 5 \). Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = 1 \):
\[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 4 \]
Таким образом, парабола имеет минимум \( (1, 4) \).
- Найдем значение линейной функции в той же точке \( x = 1 \):
\[ y = 2 \cdot 1 = 2 \]
Функция \( y = 2x \) имеет значение в точке \( x = 1 \) равное 2, что меньше, чем значение параболы.
Теперь можем заметить, что парабола \( y = x^2 - 2x + 5 \) всегда находится выше линейной функции \( y = 2x \).
Шаг 3: Найдем площадь фигуры
Ограниченная фигура завершается линиями и осью \( y \) между двумя значениями \( x \). Найдем такие значения \( x = 0 \) и \( x \) при \( y = 0 \) для \( y = 2x \).
Находим, где \( y = 0 \):
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
Теперь мы интегрируем для нахождения площади между линиями от \( x = 0 \) до некоторого значения \( x \).
Мы можем интегрировать по следующей формуле для нахождения площади:
\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{x_0} (f(x) - g(x)) \,dx \]
где \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \), \( g(x) = 2x \).
Шаг 4: Определите конечное значение \( x \)
При \( y = 0 \), \( 2x = 5 \to x = 2.5 \), поэтому интегрируем от 0 до 2.5:
\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2.5} ((x^2 - 2x + 5) - 2x) \,dx \]
Упрощаем:
\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2.5} (x^2 - 4x + 5) \,dx \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{2.5} \]
Шаг 5: Подставляем пределы интегрирования
Подставляем \( x = 2.5 \):
\[ = \frac{(2.5)^3}{3} - 2(2.5)^2 + 5(2.5) \]
Расчитаем:
\[ = \frac{15.625}{3} - 12.5 + 12.5 = 5.2083 - 12.5 + 12.5 = 5.2083 \]
Теперь подставляем \( x = 0\):
\[ = 0 \]
Таким образом, площадь фигуры будет равна:
\[ \text{Площадь} \approx 5.21 \]
Результат
Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x + 5 \) и \( y = 2x \), примерно равна \( 5.21 \) квадратных единиц.
