Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями у=x²-2x+5,y=2x

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x + 5 \) и \( y = 2x \), сначала нужно найти точки пересечения этих двух уравнений. ### Шаг 1: Найдем точки пересечения Приравняем обе функции: \[ x^2 - 2x + 5 = 2x \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \] Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = 5 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} \] Расчитаем дискриминант: \[ \sqrt{16 - 20} = \sqrt{-4} \] Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что кривые не пересекаются в вещественных точках. Теперь нужно проанализировать, как они расположены относительно друг друга. ### Шаг 2: Исследуем функции Теперь оценим значения функций. 1. Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 2x + 5 \). Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = 1 \): \[ y = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 4 \] Таким образом, парабола имеет минимум \( (1, 4) \). 2. Найдем значение линейной функции в той же точке \( x = 1 \): \[ y = 2 \cdot 1 = 2 \] Функция \( y = 2x \) имеет значение в точке \( x = 1 \) равное 2, что меньше, чем значение параболы. Теперь можем заметить, что парабола \( y = x^2 - 2x + 5 \) всегда находится выше линейной функции \( y = 2x \). ### Шаг 3: Найдем площадь фигуры Ограниченная фигура завершается линиями и осью \( y \) между двумя значениями \( x \). Найдем такие значения \( x = 0 \) и \( x \) при \( y = 0 \) для \( y = 2x \). Находим, где \( y = 0 \): \[ 2x = 0 \implies x = 0 \] Теперь мы интегрируем для нахождения площади между линиями от \( x = 0 \) до некоторого значения \( x \). Мы можем интегрировать по следующей формуле для нахождения площади: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{x_0} (f(x) - g(x)) \,dx \] где \( f(x) = x^2 - 2x + 5 \), \( g(x) = 2x \). ### Шаг 4: Определите конечное значение \( x \) При \( y = 0 \), \( 2x = 5 \to x = 2.5 \), поэтому интегрируем от 0 до 2.5: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2.5} ((x^2 - 2x + 5) - 2x) \,dx \] Упрощаем: \[ \text{Площадь} = \int_{0}^{2.5} (x^2 - 4x + 5) \,dx \] Теперь вычислим интеграл: \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{2.5} \] ### Шаг 5: Подставляем пределы интегрирования Подставляем \( x = 2.5 \): \[ = \frac{(2.5)^3}{3} - 2(2.5)^2 + 5(2.5) \] Расчитаем: \[ = \frac{15.625}{3} - 12.5 + 12.5 = 5.2083 - 12.5 + 12.5 = 5.2083 \] Теперь подставляем \( x = 0\): \[ = 0 \] Таким образом, площадь фигуры будет равна: \[ \text{Площадь} \approx 5.21 \] ### Результат Площадь фигуры, ограниченной кривыми \( y = x^2 - 2x + 5 \) и \( y = 2x \), примерно равна \( 5.21 \) квадратных единиц.