Кристина движется на автомобиле по дороге, где установлено N -ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой…
Кристина движется на автомобиле по дороге, где установлено N -ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой периодичностью. Пусть количество остановок на этой улице будет случайной величиной Х, а N - 7. Используя эту информацию, найди вероятность того, что Кристина остановится 2 раза.
Для решения задачи о вероятности остановок Кристины на светофорах мы можем воспользоваться распределением Пуассона, поскольку количество остановок является случайной величиной, которая фиксирована в определенный промежуток времени, а события (т.е. остановки) независимы друг от друга.
Шаг 1: Понимание распределения Пуассона
Распределение Пуассона описывает количество событий (в нашем случае остановок), которые происходят в фиксированное время, при условии, что события происходят с известной средней частотой, и они независимы друг от друга. Формула для вероятности достижения k событий в распределении Пуассона выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
где:
- \( \lambda \) — среднее количество событий (остановок) за фиксированный период времени,
- \( e \) — основание натурального логарифма (приблизительно 2.71828),
- \( k \) — количество заданных событий (остановок) — в нашем случае 2,
- \( k! \) — факториал k.
Шаг 2: Определение параметра \( \lambda \)
Параметр \( \lambda \) в нашем случае — это среднее количество остановок Кристины на светофорах. Чтобы его определить, нужно понимать, как часто она останавливается. По условию известно, что Кристина проезжает через 7 светофоров. Предположим, что за определенный период времени (например, за одну поездку) она останавливается в среднем 3 раза на 7 светофорах.
Следовательно, мы можем установить: \[ \lambda = 3 \]
Шаг 3: Подставим значения в формулу
Теперь подставим значения \( \lambda \) и \( k \) в формулу:
\[ P(X = 2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} \]
Шаг 4: Вычисления
Выполним все операции по порядку:
Вычисляем \( 3^2 \): \[ 3^2 = 9 \]
Вычисляем факториал \( 2! \): \[ 2! = 2 \cdot 1 = 2 \]
Подставляем это в формулу: \[ P(X = 2) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} \]
Вычисляем \( e^{-3} \) (можно использовать приближенное значение \( e \approx 2.71828 \)): \[ e^{-3} \approx 0.04979 \]
Подставляем это значение: \[ P(X = 2) = \frac{9 \cdot 0.04979}{2} \approx \frac{0.44811}{2} \approx 0.22405 \]
Итог
Вероятность того, что Кристина остановится 2 раза на светофорах, составляет примерно 0.224 или 22.4%.
Таким образом, мы нашли, что вероятность двух остановок Кристины на светофорах, работающих независимо, составляет около 22.4%.
