Кристина движется на автомобиле по дороге, где установлено N -ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой периодичностью. Пусть количество остановок на этой улице будет случайной величиной Х, а N - 7. Используя эту информацию, найди вероятность того, что Кристина остановится 2 раза.

Для решения задачи о вероятности остановок Кристины на светофорах мы можем воспользоваться распределением Пуассона, поскольку количество остановок является случайной величиной, которая фиксирована в определенный промежуток времени, а события (т.е. остановки) независимы друг от друга. ### Шаг 1: Понимание распределения Пуассона Распределение Пуассона описывает количество событий (в нашем случае остановок), которые происходят в фиксированное время, при условии, что события происходят с известной средней частотой, и они независимы друг от друга. Формула для вероятности достижения k событий в распределении Пуассона выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] где: - \( \lambda \) — среднее количество событий (остановок) за фиксированный период времени, - \( e \) — основание натурального логарифма (приблизительно 2.71828), - \( k \) — количество заданных событий (остановок) — в нашем случае 2, - \( k! \) — факториал k. ### Шаг 2: Определение параметра \( \lambda \) Параметр \( \lambda \) в нашем случае — это среднее количество остановок Кристины на светофорах. Чтобы его определить, нужно понимать, как часто она останавливается. По условию известно, что Кристина проезжает через 7 светофоров. Предположим, что за определенный период времени (например, за одну поездку) она останавливается в среднем 3 раза на 7 светофорах. Следовательно, мы можем установить: \[ \lambda = 3 \] ### Шаг 3: Подставим значения в формулу Теперь подставим значения \( \lambda \) и \( k \) в формулу: \[ P(X = 2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} \] ### Шаг 4: Вычисления Выполним все операции по порядку: 1. Вычисляем \( 3^2 \): \[ 3^2 = 9 \] 2. Вычисляем факториал \( 2! \): \[ 2! = 2 \cdot 1 = 2 \] 3. Подставляем это в формулу: \[ P(X = 2) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} \] 4. Вычисляем \( e^{-3} \) (можно использовать приближенное значение \( e \approx 2.71828 \)): \[ e^{-3} \approx 0.04979 \] 5. Подставляем это значение: \[ P(X = 2) = \frac{9 \cdot 0.04979}{2} \approx \frac{0.44811}{2} \approx 0.22405 \] ### Итог Вероятность того, что Кристина остановится 2 раза на светофорах, составляет примерно **0.224** или **22.4%**. Таким образом, мы нашли, что вероятность двух остановок Кристины на светофорах, работающих независимо, составляет около 22.4%.