Чтобы найти высоту равностороннего треугольника, который описан вокруг окружности с известным радиусом, давай начнем с некоторых геометрических фактов.
Шаг 1: Понять связь между радиусом вписанной окружности и высотой
В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности ( r ) можно выразить через сторону ( a ) треугольника следующим образом:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Также высота ( h ) равностороннего треугольника выражается через сторону ( a ):
[
h = \frac{a \sqrt{3}}{2}
]
Шаг 2: Найти сторону треугольника через радиус вписанной окружности
Так как у нас ( r = 6 ), подставим это значение в формулу для ( r ):
[
6 = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Умножим обе стороны уравнения на 6:
[
36 = a \sqrt{3}
]
Теперь выразим сторону ( a ):
[
a = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}
]
Шаг 3: Найти высоту треугольника
Теперь, когда у нас есть сторона ( a ), можем подставить её в формулу для высоты ( h ):
[
h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = 18
]
Ответ
Таким образом, высота равностороннего треугольника, вписанная в окружность радиусом 6, равна 18.
