Корень из 32 умножить на косинус в квадрате умножить на Пи деленное на 8 и минус корень из 8

Для решения задачи выразим её в виде математической формулы: \[ \sqrt{32} \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sqrt{8} \] Давайте разберёмся поэтапно: 1. **Вычислим \(\sqrt{32}\):** \[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] 2. **Косинус \(\frac{\pi}{8}\):** \(\frac{\pi}{8}\) – это 22.5° в градусах. Нам нужно найти \(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\). Используем формулу половинного угла: \[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} \] Известно, что \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим и упростим: \[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \] \[ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \] 3. **Квадрат косинуса:** \[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \] 4. **Вычисляем весь первый член выражения:** \[ 4\sqrt{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) \] \[ = 2\sqrt{2} + 2 \] 5. **Вычисляем \(\sqrt{8}\):** \[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] 6. **Полное выражение:** \[ (2\sqrt{2} + 2) - 2\sqrt{2} = 2 \] Таким образом, значение данного выражения равно 2.