корень из 32 умножить на косинус в квадрате умножить на Пи деленное на 8 и минус корень из 8
Для решения задачи выразим её в виде математической формулы:
\[ \sqrt{32} \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sqrt{8} \]
Давайте разберёмся поэтапно:
Вычислим \(\sqrt{32}\):
\[ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \]
Косинус \(\frac{\pi}{8}\):
\(\frac{\pi}{8}\) – это 22.5° в градусах. Нам нужно найти \(\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\).
Используем формулу половинного угла:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} \]
Известно, что \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Подставим и упростим:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \]
\[ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \]
\[ = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]
Квадрат косинуса:
\[ \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]
Вычисляем весь первый член выражения:
\[ 4\sqrt{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) \]
\[ = 2\sqrt{2} + 2 \]
Вычисляем \(\sqrt{8}\):
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
Полное выражение:
\[ (2\sqrt{2} + 2) - 2\sqrt{2} = 2 \]
Таким образом, значение данного выражения равно 2.
