Сторона одной клетки квадратной сетки равна еди-нице. Отметьте все узлы этой сетки, расстояние от которых до отмеченной точки 0 меньше 2. Сколько всего таких узлов
Чтобы определить, сколько узлов квадратной сетки находятся на расстоянии меньше 2 от отмеченной точки, необходимо рассмотреть круг радиусом 2 вокруг этой точки.
Клетка квадратной сетки имеет стороны длиной 1, и узлы (точки на сетке) располагаются на координатах целых чисел. Рассмотрим отмеченную точку как (0, 0) для упрощения расчетов.
Расстояние от узла (x, y) до точки (0, 0) вычисляется по формуле:
\[
d = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Мы ищем узлы, для которых \(d < 2\), то есть:
\[
\sqrt{x^2 + y^2} < 2
\]
Квадратируя обе стороны неравенства, получаем:
\[
x^2 + y^2 < 4
\]
Теперь найдем все целые координаты (x, y), удовлетворяющие этому неравенству. Это означает, что мы хотим найти целые числа x и y, при которых сумма квадратов меньше 4.
Рассмотрим возможные значения для x и y:
- Если \(x = 0\), то \(y^2 < 4\) ⇒ \(y = -1, 0, 1\) (3 узла)
- Если \(x = 1\), то \(1 + y^2 < 4\) ⇒ \(y^2 < 3\) ⇒ \(y = -1, 0, 1\) (3 узла)
- Если \(x = -1\), выполняются те же условия, что и для x = 1 (3 узла)
- Если \(x = 2\), получаем \(4 + y^2 < 4\), что невозможно.
- Если \(x = -2\), то также \(4 + y^2 < 4\), что невозможно.
Таким образом, возможные значения для x: -1, 0, 1 (и их симметрия), и для каждого x максимум 3 значения для y.
Подсчитаем узлы:
- \(x = 0\): 3 узла (0, -1), (0, 0), (0, 1)
- \(x = 1\): 3 узла (1, -1), (1, 0), (1, 1)
- \(x = -1\): 3 узла (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1)
Теперь, поочередно добавим числа узлов для положительных и отрицательных x:
Таким образом, получается:
\[
3 (x = 0) + 3 (x = 1) + 3 (x = -1) = 9
\]
И не забываем про (0, 0), который уже был учтен.
Итак, узлы:
- (0, 0)
- (0, 1)
- (0, -1)
- (1, 0)
- (1, 1)
- (1, -1)
- (-1, 0)
- (-1, 1)
- (-1, -1)
Итого в итоге: **13 узлов**.
