Сторона одной клетки квадратной сетки равна еди-нице. Отметьте все узлы этой сетки, расстояние от которых до отмеченной точки 0 меньше 2. Сколько всего таких узлов

Чтобы решить эту задачу, нужно понимать, как измерять расстояние между узлами сетки и отмеченной точкой \( O \). В данном случае, расстояние от узла до точки \( O \) измеряется как обычное евклидово расстояние.

Пошаговое решение:

1. Определение расстояния:

   • Расстояние между двумя точками на плоскости с координатами \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

2. Параметры задачи:

   • Рассмотрим точку \( O \) как центр, имеющий координаты \( (0, 0) \).
   • Нужно найти все узлы, расстояние от которых до точки \( O \) меньше 2.

3. Определение зоны вокруг точки \( O \):

   • Узлы должны находиться внутри круга с радиусом 2, центром в точке \( O \).
   • Все узлы \( (x, y) \), удовлетворяющие неравенству: \[ \sqrt{x^2 + y^2} < 2 \]
   • Эквивалентное упрощение: \[ x^2 + y^2 < 4 \]

4. Перебор всех узлов:

   • \( x \) и \( y \) могут принимать значения от \(-1\) до \(1\) (включительно), потому что если \(|x| \geq 2\) или \(|y| \geq 2\), неравенство \( x^2 + y^2 < 4\) не выполняется.

5. Расчет количества узлов:

   • Проведем вычисления для всех возможных значений \( (x, y) \):

     • \((0, 0)\) : \(0^2 + 0^2 = 0 < 4\)
     • \((1, 0)\) : \(1^2 + 0^2 = 1 < 4\)
     • \((-1, 0)\) : \((-1)^2 + 0^2 = 1 < 4\)
     • \((0, 1)\) : \(0^2 + 1^2 = 1 < 4\)
     • \((0, -1)\) : \(0^2 + (-1)^2 = 1 < 4\)
     • \((1, 1)\) : \(1^2 + 1^2 = 2 < 4\)
     • \((-1, 1)\) : \((-1)^2 + 1^2 = 2 < 4\)
     • \((1, -1)\) : \(1^2 + (-1)^2 = 2 < 4\)
     • \((-1, -1)\) : \((-1)^2 + (-1)^2 = 2 < 4\)

   Итоговое количество узлов, удовлетворяющих условию: 9.

Таким образом, в данной задаче имеется 9 узлов на сетке, расстояние от которых до отмеченной точки \( O \) меньше 2.