Площадь равнобедренной трапеции равна 48 см³, а сумма длин её оснований равна 24 см. Найдите боковую сторону трапеции, если острый угол равен 45°.
Чтобы решить задачу, давайте начнем с данных:
- Площадь равнобедренной трапеции \( S = 48 \, \text{см}^2 \).
- Сумма длин её оснований \( a + b = 24 \, \text{см} \), где \( a \) и \( b \) — длинны оснований.
- Острый угол \( \theta = 45^\circ \).
Обозначим основание \( a \) — большее, а основание \( b \) — меньшее. Также обозначим высоту трапеции как \( h \) и боковые стороны как \( c \).
Формула для вычисления площади трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Подставим известные данные в формулу площади: \[ 48 = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] Так как \( a + b = 24 \), подставим это значение: \[ 48 = \frac{24 \cdot h}{2} \] Упрощаем уравнение: \[ 48 = 12h \] Тогда высота будет равна: \[ h = \frac{48}{12} = 4 \, \text{см} \]
Теперь мы знаем, что высота \( h = 4 \, \text{см} \).
В равнобедренной трапеции высота \( h \) и наклон боковой стороны \( c \) образуют прямой треугольник с половиной разности оснований. Обозначим разность оснований как \( d = \frac{a - b}{2} \). Тогда по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной, можно записать следующее уравнение:
\[ c^2 = h^2 + d^2 \] Но сначала давайте выразим \( d \): Поскольку \( a + b = 24 \), тогда можно выразить \( b \): \[ b = 24 - a \] Следовательно, \[ d = \frac{a - (24 - a)}{2} = \frac{2a - 24}{2} = a - 12 \]
Теперь можем подставить значения в уравнение Пифагора: \[ c^2 = h^2 + d^2 \] Подставим \( h = 4 \) и \( d = a - 12 \): \[ c^2 = 4^2 + (a - 12)^2 \] \[ c^2 = 16 + (a - 12)^2 \]
Теперь нам нужно выразить \( c \) в зависимости от \( a \). Для этого найдем значение \( a \). Используя угол \( 45^\circ \), мы можем установить соотношение: \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d} = 1 \] То есть \( h = d \). Подставляя \( h = 4 \), \[ d = 4 \] Теперь подставим это значение в уравнение для \( d \): \[ a - 12 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 16 \] Тогда подставим \( a \) обратно, чтобы найти \( b \): \[ b = 24 - a = 24 - 16 = 8 \]
Теперь, имея значения для \( a \) и \( b \), можем найти боковую сторону \( c \): \[ c^2 = 16 + (4)^2 \] \[ c^2 = 16 + 16 \] \[ c^2 = 32 \quad \Rightarrow \quad c = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{см} \]
Таким образом, боковая сторона равнобедренной трапеции, углы которой равны \( 45^\circ \), составляет \( 4\sqrt{2} \, \text{см} \).
