. В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 24 места, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Давайте решим задачу о количестве мест в амфитеатре.

1. Определим количество мест в каждом ряду:

   • В первом ряду 24 места.
   • Во втором ряду будет на 2 места больше, то есть 24 + 2 = 26 мест.
   • В третьем ряду на 2 места больше, чем во втором: 26 + 2 = 28 мест.
   • Этот процесс будет продолжаться для всех 14 рядов.

2. Обозначим количество мест в ряду:
   Пусть \( a_n \) — количество мест в \( n \)-ом ряду. Мы видим, что:

   • \( a_1 = 24 \) (первый ряд)
   • \( a_2 = a_1 + 2 = 26 \)
   • \( a_3 = a_2 + 2 = 28 \)
   • и так далее...

   В общем виде можно записать: \[ a_n = 24 + 2(n - 1) \] Это равенство означает, что количество мест в \( n \)-ом ряду зависит от номера ряда.

3. Найдём количество мест в каждом из 14 рядов:

   • Для 1-го ряда: \( a_1 = 24 \)
   • Для 2-го ряда: \( a_2 = 26 \)
   • Для 3-го ряда: \( a_3 = 28 \)
   • Для 4-го ряда: \( a_4 = 30 \)
   • Для 5-го ряда: \( a_5 = 32 \)
   • Для 6-го ряда: \( a_6 = 34 \)
   • Для 7-го ряда: \( a_7 = 36 \)
   • Для 8-го ряда: \( a_8 = 38 \)
   • Для 9-го ряда: \( a_9 = 40 \)
   • Для 10-го ряда: \( a_{10} = 42 \)
   • Для 11-го ряда: \( a_{11} = 44 \)
   • Для 12-го ряда: \( a_{12} = 46 \)
   • Для 13-го ряда: \( a_{13} = 48 \)
   • Для 14-го ряда: \( a_{14} = 50 \)

4. Теперь посчитаем общее количество мест, сложив количество мест в каждом ряду: \[ \text{Всего мест} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{14} \] Это может быть удобно посчитать, используя формулу для суммы арифметической прогрессии, где \( a_1 = 24 \), \( a_{14} = 50 \), а количество членов (рядов) \( n = 14 \): \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Подставим значения: \[ S_{14} = \frac{14}{2} \times (24 + 50) = 7 \times 74 = 518 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 518 мест.