найдите корни уравнения: а) a³+11a=0 б) b³-8b²=0 в) c⁴+c³-c²-c=0 г) d³+6d²-9d-54=0
Давайте решим каждое из заданных уравнений по порядку.
а) \( a^3 + 11a = 0 \)
Вынесение общего множителя: Здесь можно вынести \( a \) за скобки: \[ a(a^2 + 11) = 0 \]
Решение уравнения: Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:
- \( a = 0 \)
- \( a^2 + 11 = 0 \)
Последнее уравнение не имеет действительных корней, так как \( a^2 = -11 \) (корни комплексные).
Таким образом, единственный действительный корень: \[ a = 0 \]
б) \( b^3 - 8b^2 = 0 \)
Вынесение общего множителя: \[ b^2(b - 8) = 0 \]
Решение уравнения:
- \( b^2 = 0 \) дает \( b = 0 \)
- \( b - 8 = 0 \) дает \( b = 8 \)
Корни: \[ b = 0, \quad b = 8 \]
в) \( c^4 + c^3 - c^2 - c = 0 \)
Вынесение общего множителя: \[ c(c^3 + c^2 - c - 1) = 0 \]
Решение: Теперь решим \( c = 0 \) (первый корень).
Для \( c^3 + c^2 - c - 1 = 0 \) делаем групировку: \[ c^2(c + 1) - 1(c + 1) = 0 \]
Вынесем \( (c + 1) \): \[ (c + 1)(c^2 - 1) = 0 \]
Факторизуем дальше: \[ (c + 1)(c - 1)(c + 1) = 0 \]
Теперь у нас есть корни:
- \( c = 0 \)
- \( c = 1 \)
- \( c = -1 \)
Итак, корни: \[ c = 0, \quad c = 1, \quad c = -1 \]
г) \( d^3 + 6d^2 - 9d - 54 = 0 \)
Используем метод подбора для поиска корней. Проверим, например, \( d = 3 \): \[ 3^3 + 6 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 54 \\ = 27 + 54 - 27 - 54 = 0 \]
Следовательно, \( d = 3 \) — корень.
Деление многочлена: Теперь делим \( d^3 + 6d^2 - 9d - 54 \) на \( (d - 3) \) через деление многочленов или синтетическое деление.
Остаток: \[ d^3 + 6d^2 - 9d - 54 = (d - 3)(d^2 + 9d + 18) \]
Теперь решаем \( d^2 + 9d + 18 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]
Корни: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 3}{2} \\ d_1 = \frac{-6}{2} = -3, \quad d_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]
Итак, корни: \[ d = 3, \quad d = -3, \quad d = -6 \]
Итак, подводя итоги:
- а) \( a = 0 \)
- б) \( b = 0, \, 8 \)
- в) \( c = 0, \, 1, \, -1 \)
- г) \( d = 3, \, -3, \, -6 \)
Если нужно объяснить что-то более подробно, дайте знать!
