Решите в натуральных числах уравнение m2=55+n2 в ответ запишите сумму полученных значений
Для решения задачи \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с того, что мы можем выразить \( m \) через \( n \):
\[ m^2 - n^2 = 55 \]
Это уравнение можно представить в виде разности квадратов:
\[ (m - n)(m + n) = 55 \]
Теперь мы должны найти пары множителей числа 55. Разложим 55 на множители:
- \( 1 \times 55 \)
- \( 5 \times 11 \)
Теперь мы рассмотрим каждую из этих пар и будем решать систему уравнений:
Первая пара: \( (1, 55) \)
У нас есть: \[ m - n = 1 \] \[ m + n = 55 \]
Сложим эти два уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55 \] \[ 2m = 56 \quad \Rightarrow \quad m = 28 \]
Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \): \[ 28 - n = 1 \quad \Rightarrow \quad n = 27 \]
Мы получили пару \( (m, n) = (28, 27) \).
Вторая пара: \( (5, 11) \)
У нас есть: \[ m - n = 5 \] \[ m + n = 11 \]
Сложим эти два уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11 \] \[ 2m = 16 \quad \Rightarrow \quad m = 8 \]
Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \): \[ 8 - n = 5 \quad \Rightarrow \quad n = 3 \]
Мы получили пару \( (m, n) = (8, 3) \).
Теперь у нас есть два решения в натуральных числах:
- Пара 1: \( (28, 27) \)
- Пара 2: \( (8, 3) \)
Теперь найдем сумму всех \( m \) полученных значений:
\[ S = 28 + 8 = 36 \]
Таким образом, ответ: \[ \boxed{36} \]
