Решите в натуральных числах уравнение m2=55+n2 в ответ запишите сумму полученных значений

Для решения задачи \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с того, что мы можем выразить \( m \) через \( n \): \[ m^2 - n^2 = 55 \] Это уравнение можно представить в виде разности квадратов: \[ (m - n)(m + n) = 55 \] Теперь мы должны найти пары множителей числа 55. Разложим 55 на множители: - \( 1 \times 55 \) - \( 5 \times 11 \) Теперь мы рассмотрим каждую из этих пар и будем решать систему уравнений: 1. **Первая пара: \( (1, 55) \)** У нас есть: \[ m - n = 1 \] \[ m + n = 55 \] Сложим эти два уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55 \] \[ 2m = 56 \quad \Rightarrow \quad m = 28 \] Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \): \[ 28 - n = 1 \quad \Rightarrow \quad n = 27 \] Мы получили пару \( (m, n) = (28, 27) \). 2. **Вторая пара: \( (5, 11) \)** У нас есть: \[ m - n = 5 \] \[ m + n = 11 \] Сложим эти два уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11 \] \[ 2m = 16 \quad \Rightarrow \quad m = 8 \] Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, чтобы найти \( n \): \[ 8 - n = 5 \quad \Rightarrow \quad n = 3 \] Мы получили пару \( (m, n) = (8, 3) \). Теперь у нас есть два решения в натуральных числах: - Пара 1: \( (28, 27) \) - Пара 2: \( (8, 3) \) Теперь найдем сумму всех \( m \) полученных значений: \[ S = 28 + 8 = 36 \] Таким образом, ответ: \[ \boxed{36} \]