Для решения задачи начнем с уравнения, где квадратный трехчлен (6x^2 + 5x - 4) разложен на множители следующим образом:
[
6x^2 + 5x - 4 = 6(x - \frac{1}{2})(x + a)
]
Наша цель — найти значение (a).
Шаг 1: Раскроем скобки
Мы можем начать с раскрытия скобок в правой части уравнения. Запишем это:
[
6(x - \frac{1}{2})(x + a) = 6(x^2 + ax - \frac{1}{2}x - \frac{a}{2})
]
Сгруппируем члены:
[
= 6(x^2 + (a - \frac{1}{2})x - \frac{a}{2})
]
Теперь, умножим все члены на 6:
[
= 6x^2 + 6(a - \frac{1}{2})x - 3a
]
Шаг 2: Сравнить коэффициенты
Теперь сравним полученный многочлен с оригинальным:
[
6x^2 + 5x - 4
]
Получаем следующее равенство для коэффициентов:
- Коэффициент при (x^2): (6 = 6) (это равенство верно, не вводит новых условий).
- Коэффициент при (x): (6(a - \frac{1}{2}) = 5)
- Свободный член: (-3a = -4)
Шаг 3: Решим систему уравнений
Уравнение для свободного члена:
[
-3a = -4
]
Решаем его:
[
3a = 4 \implies a = \frac{4}{3}
]
Уравнение для коэффициента при (x):
Теперь найдём (a) из второго уравнения:
[
6(a - \frac{1}{2}) = 5
]
Решим его:
[
a - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}
]
[
a = \frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, значение (a) равно:
[
a = \frac{4}{3}
]
Это и есть требуемый ответ.
