Давайте решим обе задачи по порядку.
Задача 2: Найдите область определения функции ( f'(x) = \ln(2x + 5) )
Мы ищем область определения функции, которая включает все значения ( x ), для которых аргумент логарифма (то есть ( 2x + 5 )) больше нуля, поскольку логарифм определен только для положительных значений.
Шаг 1: Установим неравенство
Для функции ( f'(x) ) логарифм будет определен, если:
[
2x + 5 > 0
]
Шаг 2: Решим неравенство
Вычтем 5 из обеих сторон:
[
2x > -5
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
x > -\frac{5}{2}
]
или, в виде десятичной дроби:
[
x > -2.5
]
Шаг 3: Обозначим область определения
Таким образом, область определения функции ( f'(x) ) — это все значения ( x ), которые больше -2.5.
Ответ
A) ( x > -2.5 )
Задача 3: Какая функция является возрастающей?
Для определения, какая из данных функций возрастающая, нужно помнить, что:
- Функция возрастающая, если для любых ( x_1 < x_2 ) верно ( f(x_1) < f(x_2) ).
- Логарифмическая функция возрастает на своих интервалах, если основание логарифма больше 1, и убывает, если меньше 1.
Анализ функций:
A) ( f(x) = \log_{(1/2)}(x) )
Основание ( 1/2 ) меньше 1, значит эта функция убывающая.
B) ( f(x) = \log_{(1/2)}(x) )
Такая же, как и A, тоже убывающая.
C) ( f(x) = \log(x) )
Основание ( e ) (приблизительно 2.718), больше 1, значит функция возрастающая.
D) ( f(x) = \log_{(4/8)}(x) )
( 4/8 = 1/2 ), что снова меньше 1, значит функция убывающая.
E) ( f(x) = \log_{(3/\gamma)}(x) )
Здесь нужно помнить, что ( \gamma ) (гамма) — это константа. Если ( \gamma < 3 ), основание будет больше 1, и функция будет **возрастающей**. Если ( \gamma > 3 ), основание будет меньше 1, и функция будет убывающей. Однако без конкретного значения нельзя однозначно утверждать.
Ответ
C) ( f(x) = \log(x) ) (возрастающая).
