4. Найдите значение данного выражения, записав ответ в виде log, log_(1/3)(7) + 2 * log_5(49) - log_(sqrt(3))(1/7)

Чтобы решить выражение \( \log_{\frac{1}{3}}(7) + 2 \cdot \log_{5}(49) - \log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) \), будем действовать шаг за шагом, используя свойства логарифмов.

Шаг 1: Преобразование логарифма с основанием \( \frac{1}{3} \)

Сначала рассмотрим \( \log_{\frac{1}{3}}(7) \). Мы можем использовать свойство:

\[ \log_{\frac{1}{3}}(a) = -\log_{3}(a) \]

Поэтому:

\[ \log_{\frac{1}{3}}(7) = -\log_{3}(7) \]

Шаг 2: Обработка второго логарифма

Теперь поработаем со вторым логарифмом \( 2 \cdot \log_{5}(49) \). Мы знаем, что \( 49 = 7^2 \), следовательно, используя свойство логарифмов:

\[ \log_{b}(a^n) = n \cdot \log_{b}(a) \]

мы получаем:

\[ 2 \cdot \log_{5}(49) = 2 \cdot \log_{5}(7^2) = 2 \cdot 2 \cdot \log_{5}(7) = 4 \cdot \log_{5}(7) \]

Шаг 3: Обработка третьего логарифма

Теперь решим третий логарифм \( -\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) \). Используя то же свойство, что \( \sqrt{3} = 3^{1/2} \), мы можем переписать:

\[ \log_{\sqrt{3}}(a) = \frac{2 \cdot \log_{3}(a)}{1} \]

Следовательно,

\[ -\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) = -\frac{2 \cdot \log_{3}(\frac{1}{7})}{1} \]

И применяя свойство логарифмов \( \log_{b}(\frac{1}{a}) = -\log_{b}(a) \):

\[ -\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) = \frac{2 \cdot \log_{3}(7)}{1} \]

Шаг 4: Подстановка и обобщение

Теперь мы можем подставить все ранее полученные результаты обратно в исходное выражение:

\[ -\log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) + 2 \cdot \log_{3}(7) = \log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) \]

Шаг 5: Запись результата

Таким образом, финальное выражение можно записать более компактно как:

\[ \log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) \]

Это и будет ответ в виде логарифма: \( \log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) \).