Чтобы решить выражение ( \log_{\frac{1}{3}}(7) + 2 \cdot \log_{5}(49) - \log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) ), будем действовать шаг за шагом, используя свойства логарифмов.
Шаг 1: Преобразование логарифма с основанием ( \frac{1}{3} )
Сначала рассмотрим ( \log_{\frac{1}{3}}(7) ). Мы можем использовать свойство:
[
\log_{\frac{1}{3}}(a) = -\log_{3}(a)
]
Поэтому:
[
\log_{\frac{1}{3}}(7) = -\log_{3}(7)
]
Шаг 2: Обработка второго логарифма
Теперь поработаем со вторым логарифмом ( 2 \cdot \log_{5}(49) ). Мы знаем, что ( 49 = 7^2 ), следовательно, используя свойство логарифмов:
[
\log_{b}(a^n) = n \cdot \log_{b}(a)
]
мы получаем:
[
2 \cdot \log_{5}(49) = 2 \cdot \log_{5}(7^2) = 2 \cdot 2 \cdot \log_{5}(7) = 4 \cdot \log_{5}(7)
]
Шаг 3: Обработка третьего логарифма
Теперь решим третий логарифм ( -\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) ). Используя то же свойство, что ( \sqrt{3} = 3^{1/2} ), мы можем переписать:
[
\log_{\sqrt{3}}(a) = \frac{2 \cdot \log_{3}(a)}{1}
]
Следовательно,
[
-\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) = -\frac{2 \cdot \log_{3}(\frac{1}{7})}{1}
]
И применяя свойство логарифмов ( \log_{b}(\frac{1}{a}) = -\log_{b}(a) ):
[
-\log_{\sqrt{3}}(\frac{1}{7}) = \frac{2 \cdot \log_{3}(7)}{1}
]
Шаг 4: Подстановка и обобщение
Теперь мы можем подставить все ранее полученные результаты обратно в исходное выражение:
[
-\log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) + 2 \cdot \log_{3}(7) = \log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7)
]
Шаг 5: Запись результата
Таким образом, финальное выражение можно записать более компактно как:
[
\log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7)
]
Это и будет ответ в виде логарифма: ( \log_{3}(7) + 4 \cdot \log_{5}(7) ).
