Для нахождения абсцисс координат точек пересечения двух функций ( f(x) = e^x - 3 ) и ( g(x) = 2 - 6e^{-x} ) необходимо решить уравнение ( f(x) = g(x) ).
Шаг 1: Записываем уравнение
Мы приравниваем обе функции друг к другу:
[
e^x - 3 = 2 - 6e^{-x}
]
Шаг 2: Упрощаем уравнение
Первым делом приведем все элементы уравнения к одной стороне:
[
e^x + 6e^{-x} = 5
]
Шаг 3: Умножим на ( e^x )
Чтобы избавиться от дроби, умножим на ( e^x ) (принимаем во внимание, что ( e^x > 0 ) для всех ( x )):
[
(e^x) \cdot e^x + 6(e^x) \cdot e^{-x} = 5e^x
]
Это можно переписать как:
[
e^{2x} + 6 = 5e^x
]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону
Переносим все элементы на одну сторону для получения квадратного уравнения:
[
e^{2x} - 5e^x + 6 = 0
]
Шаг 5: Замена переменной
Для удобства сделаем замену: ( y = e^x ). Тогда уравнение становится:
[
y^2 - 5y + 6 = 0
]
Шаг 6: Решаем квадратное уравнение
Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
]
Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:
[
y_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
[
y_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
Шаг 7: Находим значения ( x )
Теперь возвращаемся к переменной ( x ):
Для ( y_1 = 3 ):
[
e^x = 3 \Rightarrow x_1 = \ln(3)
]
Для ( y_2 = 2 ):
[
e^x = 2 \Rightarrow x_2 = \ln(2)
]
Финальный ответ
Таким образом, абсциссы координат точек пересечения функций равны:
[
x_1 = \ln(3) \quad \text{и} \quad x_2 = \ln(2)
]
Подведение итогов
Мы нашли абсциссы точек пересечения двух заданных функций, решив квадратное уравнение, полученное после замены переменной.
