а) Найдите абсциссы координат точек пересечения для заданных функций f(x) = e ^ x - 3uf(x) = 2 - 6e ^ (- x)

Для нахождения абсцисс координат точек пересечения двух функций \( f(x) = e^x - 3 \) и \( g(x) = 2 - 6e^{-x} \) необходимо решить уравнение \( f(x) = g(x) \).

Шаг 1: Записываем уравнение

Мы приравниваем обе функции друг к другу:

\[ e^x - 3 = 2 - 6e^{-x} \]

Шаг 2: Упрощаем уравнение

Первым делом приведем все элементы уравнения к одной стороне:

\[ e^x + 6e^{-x} = 5 \]

Шаг 3: Умножим на \( e^x \)

Чтобы избавиться от дроби, умножим на \( e^x \) (принимаем во внимание, что \( e^x > 0 \) для всех \( x \)):

\[ (e^x) \cdot e^x + 6(e^x) \cdot e^{-x} = 5e^x \]

Это можно переписать как:

\[ e^{2x} + 6 = 5e^x \]

Шаг 4: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы на одну сторону для получения квадратного уравнения:

\[ e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 \]

Шаг 5: Замена переменной

Для удобства сделаем замену: \( y = e^x \). Тогда уравнение становится:

\[ y^2 - 5y + 6 = 0 \]

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

\[ y_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ y_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Шаг 7: Находим значения \( x \)

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

Для \( y_1 = 3 \):

\[ e^x = 3 \Rightarrow x_1 = \ln(3) \]

Для \( y_2 = 2 \):

\[ e^x = 2 \Rightarrow x_2 = \ln(2) \]

Финальный ответ

Таким образом, абсциссы координат точек пересечения функций равны:

\[ x_1 = \ln(3) \quad \text{и} \quad x_2 = \ln(2) \]

Подведение итогов

Мы нашли абсциссы точек пересечения двух заданных функций, решив квадратное уравнение, полученное после замены переменной.