Чтобы найти вероятность того, что при пяти бросках игральной кости шестёрка выпадет ровно 2 раза, мы можем использовать биномиальное распределение. Обозначим:
- ( n = 5 ) (количество бросков),
- ( k = 2 ) (количество успешных исходов, то есть выпадение шестёрки),
- ( p = \frac{1}{6} ) (вероятность выпадения шестёрки на одном броске),
- ( q = \frac{5}{6} ) (вероятность, что не выпадет шестёрка на одном броске).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где:
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент,
- ( P(X = k) ) — вероятность получить ровно ( k ) успехов из ( n ) попыток.
Шаги решения:
- Найдём биномиальный коэффициент ( C(5, 2) ):
[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
]
- Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot p^2 \cdot q^{5-2}
]
- Подставим ( p ) и ( q ):
[
P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3
]
- Вычислим ( \left(\frac{1}{6}\right)^2 ) и ( \left(\frac{5}{6}\right)^3 ):
[
\left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}
]
[
\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{5^3}{6^3} = \frac{125}{216}
]
- Теперь подставим эти значения:
[
P(X = 2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216}
]
- Перемножим:
[
P(X = 2) = 10 \cdot \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776}
]
- Найдём десятичное значение:
[
P(X = 2) \approx 0.1608
]
- Округлите до тысячных:
[
P(X = 2) \approx 0.161
]
Итак, вероятность того, что при пяти бросках игральной кости шестёрка выпадет ровно 2 раза, составляет примерно 0.161.
